浙江省湖州市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、{1} C、 $[1 ， \sqrt{2}]$ D、 $[- \sqrt{2} ， 4]$

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2. 对于实数 $a ， b ， c$ ，“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设命题p：任一实数的平方都不小于0，则命题p的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} < 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} < 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} > 0$

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4. 已知角 $α$ 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P (- \frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ ，则 $c o s (π - α)$ 的值是（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ 的周期为4，若 $f (- 1) = - 2$ ，则 $f (20) - f (21)$ 的值是（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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6. 设函数 $f (x) = l n (\frac{2 a}{a - x} + b)$ （a， $b \in R$ ，且 $a > 0$ ），则函数 $f (x)$ 的奇偶性（）

A、与a无关，且与b无关 B、与a有关，且与b有关 C、与a有关，且与b无关 D、与a无关，且与b有关

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7. 为将“两山”理念落到实处，某地区大力开展植树造林．现该地区原有森林面积m亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是5年，为使森林面积达到5m亩以上，至少需要植树造林（）年．（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ）

A、10 B、11 C、12 D、13

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8. 下列四个函数中，使得方程 $f (f (x)) = x$ 的实根个数恰为4个的是（）

A、 $f (x) = 2 x^{2} + x$ B、 $f (x) = 2^{x}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ D、 $f (x) = | 3 x - 1 |$

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二、多选题

9. 下列四组函数中为同一函数的组是（）

A、 $y = x$ 与 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ B、 $f (x) = 1$ 与 $f (x) = x^{0}$ C、 $y = | x + 1 |$ 与 $y = \sqrt{x^{2} + 2 x + 1}$ D、 $y = l o g_{2} x$ 与 $y = l o g_{4} x^{2}$

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10. 为了得到函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，可以将函数 $y = s i n (x + \frac{π}{6})$ 的图象（）

A、先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B、先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将每个点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 C、每个点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变；再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、每个点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变；再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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11. 已知非零实数a、b满足 $a > b$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a | a | > b | b |$ C、 $a (a^{2} + 3 b^{2}) > b (3 a^{2} + b^{2})$ D、 $\frac{2 a^{2} - a b + 2 b^{2}}{a^{2} + a b + b^{2}} > 1$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n x - 1 ， x \geq e \\ b - (x + \frac{a}{x}) ， 1 < x < e \end{array}$ 的最小值为0，e是自然对数的底数，则（）

A、若 $a \in (- 1 ， 0)$ ，则 $b \geq e + \frac{a}{e}$ B、若 $a \in (0 ， 1)$ ，则 $b \leq a + 1$ C、若 $a \in (- \infty ， - e^{2})$ ，则 $b < - e^{2} - \frac{a}{e^{2}}$ D、若 $a \in (e^{2} ， + ∞)$ ，则 $b \geq a + 1$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{2 - x} \cdot \sqrt{x + 1}$ 的定义域是．

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14. 已知 $2 t a n θ - t a n (θ + \frac{π}{4}) = 7$ ，则 $t a n θ =$ ．

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15. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 $θ_{1} ℃$ ，空气的温度是 $θ_{0} ℃$ ， tmin后物体的温度 $θ ℃$ 可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数．若将62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，可测得1min以后物体的温度是52℃．由此可求出k的值约为0.24．现将75℃的物体，放在15℃的空气中冷却，则开始冷却min（精确0.01）后物体的温度是35℃．（参考数据： $l n 2 \approx 0.693$ ， $l n 3 \approx 1.099$ ）

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16. 已知实数a，b，c满足 ${\begin{array}{l} a b + c = 1 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3 \end{array}$ ，则abc的最小值是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | 2 m - 1 \leq x \leq m + 3}$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $∁_{R} (A ∩ B)$ ；

(2)、若 $A ∪ B = A$ ，求实数m的取值范围．

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18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝ ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 4 x ， 0 < x < 8 \\ 11 x + \frac{49}{x} - 35 ， x \geq 8 \end{array}$ 每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．

(1)、写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)．

(2)、年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a \cdot e^{- x} (a \in R)$ 是奇函数，其中e为自然对数的底数．

(1)、求实数a的值，并写出函数 $f (x)$ 的单调性（无需证明）；

(2)、当不等式 $f (x^{2} + 2 x) + f (x - k) > 0$ 在 $x \in [- 1 ， 2]$ 恒成立时，求实数k的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + c o s (2 x - \frac{π}{3})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上的取值范围；

(3)、设 $α \in (0 ， \frac{π}{3})$ ，且 $f (α) = \frac{3 \sqrt{3}}{5}$ ，求 $c o s 2 α$ 的值．

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21. 如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地AOB（圆心角为 $\frac{π}{4}$ ）和COD（圆心角为 $\frac{π}{2}$ ）．现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边区域．已知圆的直径 $P R = 100$ 米，且点P在劣弧AB上（不含端点），点Q在OA上、点J在OC上、点M和N在OB上、点K在OD上．记 $∠ B O P = θ$ ，矩形OJRK和平行四边形MNPQ面积和为S．

(1)、求S关于 $θ$ 的函数关系式 $S = f (θ)$ ；

(2)、求S的最大值及此时 $c o s 2 θ$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n (\frac{2}{x} + a) (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) - l n [(2 - a) x + 3 a - 3]$ 有唯一零点，求实数a的取值范围；

(3)、若对任意实数 $m \in [\frac{3}{4} ， 1]$ ，对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in [m ， 4 m - 1]$ 时，恒有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq l n 2$ 成立，求正实数a的取值范围．

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