浙江省杭州市八县区2021-2022学年高一上学期数学期末学业水平测试试卷

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ B、{-3} C、 ${- 3 ， 2}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 若 $a ， b \in R$ ，则“ $a = b$ ”是“ $a^{2} = b^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若 $a ， b$ 为正实数，且 $a b = 1$ ，则a+2b的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 设 $a = l o g_{0.3} 3$ ， $b = 2^{- 1}$ ， $c = l o g_{2} 3$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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5. 下列函数与 $f (x) = x + 1$ 是同一个函数的是（）

A、 $g (x) = \frac{x^{2}}{x} + 1$ B、 $g (x) = \sqrt{x^{2}} + 1$ C、 $g (x) = e^{l n x} + 1$ D、 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}} + 1$

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6. 已知 $m i n {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， \\ b ， \end{array} \begin{array}{l} a \leq b \\ a > b \end{array} ，$ 设 $f (x)$ $= m i n {x - 2 ， - x^{2} + 4 x - 2}$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值是（）

A、-2 B、1 C、2 D、3

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7. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为 $α (0^{\circ} < α < 45^{\circ})$ ，且小正方形与大正方形面积之比为 $1 ： 25$ ，则 $tan α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{24}{25}$

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8. 已知定义域为 $[- 5 ， 5]$ 的函数 $f (x)$ 的图像是一条连续不断的曲线，且满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ．若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 5] ，$ 当 $x_{1} < x_{2}$ 时，总有 $\frac{f (x_{2})}{x_{1}} > \frac{f (x_{1})}{x_{2}}$ ，则满足 $(2 m - 1) f (2 m - 1) \leq (m + 4) f (m + 4)$ 的实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 5]$ C、 $[- 2 ， 3]$ D、 $[- 2 ， 1]$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \in Q$ B、集合A、B，若 $A ∪ B = A ∩ B$ ，则 $A = B$ C、若 $A ∩ B = B$ ，则 $B \subseteq A$ D、若 $a \in A$ ， $a \in B$ ，则 $a \in A ∩ B$

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10. 下列说法正确的有（）

A、命题 $“ \forall x \in R ， x^{2} + x + 1 > 0 ”$ 的否定为 $“ \forall x \in R ， x^{2} + x + 1 \leq 0 ”$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a ， b \in R ，$ $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $s i n x + \frac{2}{s i n x}$ 的最小值是 $2 \sqrt{2}$

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11. 如图，摩天轮的半径为 $50$ m，其中心 $O$ 点距离地面的高度为 $60$ m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且 $20 m i n$ 转一圈，若摩天轮上点 $P$ 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（）

A、转动 $10 m i n$ 后点 $P$ 距离地面 $10 m$ B、若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 $\frac{1}{2}$ C、第 $17 m i n$ 和第 $43 m i n$ 点 $P$ 距离地面的高度相同 D、摩天轮转动一圈，点 $P$ 距离地面的高度不低于 $85$ m的时间为 $\frac{20}{3} m i n$

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12. 已知实数 $x_{1} ， x_{2}$ 为函数 $f (x) = (\frac{1}{3})^{x} - | l o g_{2} (x - 2) |$ 的两个零点，则下列结论正确的是（）

A、 $(x_{1} - 3) (x_{2} - 3) < 0$ B、 $0 < (x_{1} - 2) (x_{2} - 2) < 1$ C、 $(x_{1} - 2) (x_{2} - 2) = 1$ D、 $(x_{1} - 2) (x_{2} - 2) > 1$

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三、填空题

13. 已知弧长为 $\frac{π}{3}$ cm的弧所对圆心角为 $\frac{π}{6}$ ，则这条弧所在圆的半径为cm．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 3 x ， x \leq 0 ， \\ l o g_{2} x ， x > 0 . \end{array}$ 则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) ＝ s i n (ω x ＋ φ)$ （ω＞0， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）， $f (0) = \frac{1}{2}$ ，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是 $f (x)$ 图象上的任意两点，若 $| f (x_{1}) － f (x_{2}) | ＝ 2$ 时， $| x_{1} － x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ ，则 $f (x)$ 图象的对称轴是x= ．

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16. 定义：如果函数 $y = f (x)$ 在定义域内给定区间 $[a ， b]$ 上存在 $x_{0}$ （ $a < x_{0} < b$ ），满足 $f (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称函数 $y = f (x)$ 是 $[a ， b]$ 上的“平均值函数”， $x_{0}$ 是它的一个均值点，如 $y = x^{2}$ 是 $[- 1 ， 1]$ 上的平均值函数， $0$ 就是它的均值点，现有函数 $f (x) = x^{3} + t x$ 是 $[0 ， 1]$ 上的平均值函数，则实数t的取值范围是．

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四、解答题

17. 化简求值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} + \sqrt{(- 3)^{2}} + l o g_{3} 18 - l o g_{3} 2$ ；

(2)、已知 $t a n α = 3$ ，求 $\frac{3 c o s (π + α) + c o s (\frac{π}{2} + α)}{s i n (3 π - α) - c o s (- α)}$ 的值．

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18. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x ∣ 1 < 2^{x} < 16}$ ．

(1)、求 $A ∪ B$ ；

(2)、设非空集合 $D = {x | a < x < 3 - 2 a ， a \in R}$ ，若 $D \subseteq (A ∪ B)$ ，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} x + c o s (2 x - \frac{π}{3}) - 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，所得函数图象与函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象重合，求实数m的最小值．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，锐角 $α$ 、 $β$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，始边为 $x$ 轴的正半轴，终边与单位圆 $O$ 的交点分别为P、Q．已知点 $P$ 的横坐标为 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ ，点 $Q$ 的纵坐标为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $s i n (α + β)$ 的值；

(2)、求 $α + 2 β$ 的值．

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21. 根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数P与听课时间 $t$ 之间的关系满足如图所示的曲线．当 $t \in (0 ， 12]$ 时，曲线是二次函数图象的一部分，其中顶点 $A (10 ， 80)$ ，且过点 $B (12 ， 78)$ ；当 $t \in (12 ， 40]$ 时，曲线是函数 $p = l o g_{a} (t - 7) + 79 (0 < a < 1)$ 图像的一部分．专家认为，当指数P大于或等于77时定义为听课效果最佳．

(1)、试求 $p = f (t)$ 的函数关系式；

(2)、若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在什么时间段老师多提问，增加学生活动环节？

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22. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x} - a}{2^{x} + a}$ ．

(1)、若 $a > 0$ ，判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a \neq 0$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[m ， n]$ $(m < n)$ 上的取值范围是 $[\frac{k}{2^{m}} ， \frac{k}{2^{n}}]$ $(k \in R)$ ，求 $\frac{k}{a}$ 的范围．

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