湖南省长沙市长郡教育集团2021-2022学年九年级下学期入学考试数学试卷

试卷更新日期：2022-03-08 类型：开学考试

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一、单选题

1. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、购买一张彩票，中奖 B、射击运动员射击一次，命中靶心 C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D、任意画一个三角形，其内角和是180°

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2. 下列四个几何体中，左视图为圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列命题是真命题的是（）

A、五边形的内角和是720° B、三角形的任意两边之和大于第三边 C、内错角相等 D、对角线互相垂直的四边形是菱形

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4. 一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字-1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 如图，四边形ABCD内接于 $⊙ O$ ，若∠BOD=144°，则∠C的度数是（）

A、14° B、36° C、72° D、108°

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6. 下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（）

A、x²+kx﹣1＝0 B、x²+kx+1＝0 C、x²+x﹣k＝0 D、x²+x+k＝0

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7. 抛物线y=2x²－2 $\sqrt{2}$ x+1与坐标轴的交点个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. A（-3，2）关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（　）

A、（3，2） B、（-3，2） C、（3，-2） D、（-2，3）

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9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cos∠B= $\frac{4}{5}$ ，则BC=（）

A、6 B、8 C、9 D、15

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10. 如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（）

A、2.5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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二、填空题

11. 在一个不透明的盒子中装有n个规格相同的乒乓球，其中有2个黄色球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到黄色球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是．

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12. 在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，则A，B两地间的实际距离为m．

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13. 如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为m.

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14. 飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是 $S = 26 t - \frac{1}{2} t^{2}$ ，则飞机着陆后滑行s后，才会停下来.

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15. 如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是.

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16. 如图所示，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，点A在第一象限，点B在第四象限，且 $A O ： B O = 1 ： \sqrt{2}$ ，若点A(x₀ ， y₀)的坐标满足 $x_{0} = \frac{1}{y_{0}}$ ，则点B(x，y)的坐标所满足的关系式为.

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三、解答题

17. $6 \sin 45 ° + | 1 - \sqrt{2} | - \sqrt{8} \times {(π - 2022)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ .

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18. 先化简再求值： $(\frac{1}{x + 2} + 1) \div \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ ，其中 $x = - 1$ ．

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19. 已知一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ .

(1)、若方程有两个实数根，求m的范围；

(2)、若方程的两个实数根为 $x_{1} 、 x_{2}$ ，且 $x_{1} + 3 x_{2} = 3$ ，求m的值.

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20. 为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
组别
分数段
频次
频率
A
60≤x＜70
17
0.17
B
70≤x＜80
30
a
C
80≤x＜90
b
0.45
D
90≤x＜100
8
0.08
请根据所给信息，解答以下问题：

(1)、表中a= ， b=；

(2)、请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；

(3)、已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．

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21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．

(1)、求证：△ADF∽△DEC

(2)、若AB＝4，AD＝3 $\sqrt{3}$ ，AE＝3，求AF的长．

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22. 某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？

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23. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC上的一点，以AD为直径的 $⊙ O$ 交AB于E，连接CE交 $⊙ O$ 于G，连接DG，∠ACB=∠EGD.

(1)、证明：BC与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若BD=2，CD=6，求 $⊙ O$ 的直径AD；

(3)、在（2）的条件下，求EC.

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24. 在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H点”，如（2，-3）与（-3，2）是一对“H点”.

(1)、点 $(m ， n)$ 和它的“H点”均在直线 $y = k x + a$ 上，求k的值；

(2)、若直线 $y = k x + 3$ 经过的A，B两点恰好是一对“H点”，其中点A还在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，一条抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 也经过A，B两点，求该抛物线的解析式；

(3)、已知 $A (m ， n) (m < n)$ ，B为抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 上的一对“H点”，且满足： $m + n = 2$ ， $m n = - 3$ ，点P为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P满足△PAB的面积为16，求 $a + b + c$ 的值.

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25. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ 交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且OB=2OC.

(1)、求点B的坐标和a的值；

(2)、如图1，点D，P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD，DE，设△CDE的面积为s，若 $s = - \frac{3}{4} t$ ，求点D的坐标；

(3)、如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB=2∠APB，求点P的坐标.

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组别	分数段	频次	频率
A	60≤x＜70	17	0.17
B	70≤x＜80	30	a
C	80≤x＜90	b	0.45
D	90≤x＜100	8	0.08