浙江省台州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-03-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 1 ⩽ x < 4} ， B = {x ∣ 0 < x < 3}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 1}$ B、 ${x ∣ 0 < x < 4}$ C、 ${x ∣ 1 ⩽ x < 3}$ D、 ${x ∣ 1 ⩽ x < 4}$

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2. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1 (m > 1)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 已知平面四边形 $A B C D$ ，则“ $\vec{A B} = λ \vec{C D}$ ( $λ$ 为实数)， $| \vec{A D} | = | \vec{B C} |$ ”是“四边形 $A B C D$ 是平行四边形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = \frac{x s i n (π x)}{e^{| x |}}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + 2 y ⩽ 10 ， \\ 2 x + y ⩾ - 1 ， \\ x - y ⩽ 0 ， \end{array}$ 则 $| 2 x - y + 2 |$ 的最大值为（）

A、 $\frac{13 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{5 \sqrt{5}}{3}$ C、13 D、 $\frac{5}{3}$

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7. 若从编号为 $1 ∼ 10$ 的十个小球中取3个不同的小球，且3个小球的编号两两不连续，则不同的取法共有（）

A、8种 B、36种 C、56种 D、64种

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8. 已知奇函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数， $g (x) = x^{2} f (x)$ ．若 $a = g (l n \frac{1}{2}) ， b = g (- 0.66)$ ， $c = g (2^{- \frac{1}{3}})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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9. 已知在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = a$ ，命题 $p ：$ 对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 2}$ ．若对于区间 $M$ 中的任一实数 $a$ ，命题 $p$ 为真命题，则区间 $M$ 可以是（）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(\frac{32}{11} ， \frac{16}{5})$ D、 $(\frac{8}{3} ， \frac{32}{11})$

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10. 已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为棱BC的中点，直线 $l$ 在平面A₁B₁C₁D₁内．若二面角 $A - l - E$ 的平面角为 $θ$ ，则 $c o s θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{11}{21}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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二、填空题

11. 古希腊著名数学家阿基米德是这样求抛物弓形面积的：以抛物弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点作弓形的内接三角形；在以该内接三角形两腰为弦的两个抛物线弓形内用同样的方法作出内接三角形，等等．从第二次开始，每次作出的内接三角形面积之和是前一次所作出的内接三角形面积和的 $\frac{1}{4}$ ．若第一次所作的内接三角形面积为1，则第三次所作的内接三角形面积和为．

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12. 已知正实数 $a ， b$ 满足 $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{a^{4}}{b} + \frac{32 b^{4}}{a}$ 的最小值为．

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13. 已知实数 $λ_{1} ， λ_{2} ， λ_{3}$ ，平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ．满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 ， | \vec{a} | = 6 ， | \vec{b} | = 8 ， \vec{c} = λ_{1} \vec{a} + (1 - λ_{1}) \vec{b}$ ．若存在唯一实数 $λ_{1}$ ，使得 ${\vec{c}}^{2} = \vec{c} \cdot (λ_{2} \vec{a} + λ_{3} \vec{b})$ ，则 $| λ_{2} \vec{a} - λ_{3} \vec{b} |$ 的最小值是

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14. 在复平面内，复数 $z_{1} = 0$ ， $z_{2} = 1 + \sqrt{2} i$ ， $z_{3} = \sqrt{2} + i$ （ $i$ 为虚数单位）对应的点分别为 $O$ 、 $A$ 、 $B$ ，则 $z_{2} \cdot z_{3} =$ ； $c o s ∠ A O B =$ ．

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15. 若 $2 c o s (\frac{π}{2} - θ) = c o s (π + θ)$ ，则 $t a n θ =$ ； $2 c o s^{2} θ + s i n 2 θ =$ ．

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16. 已知袋中装有大小相同的红球，黄球和蓝球，从中随机摸取一个球，摸出红球或黄球的概率为0.58，摸出红球或蓝球的概率为0.82．则从中随机摸取一个球，摸出红球的概率为；若每次随机摸取一个球，有放回地摸取两次，设X表示两次摸到红球的总数，则 $E (X) =$ ．

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17. 若 $(1 + 2 x^{2}) (1 + x)^{4} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x + 1)^{2} + a_{3} (x - 1)^{3} + a_{4} (x + 1)^{4} + a_{5} (x - 1)^{5} + a_{6} (x + 1)^{6}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5} + a_{6} =$ ； $a_{5} =$ ．

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三、解答题

18. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c ， 2 a s i n A c o s \frac{B}{2} + b c o s 2 A = b$ ．

(1)、求 $B$ 的值；

(2)、若 $a + c = 4 ， △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，其首项和公差都为1，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，其首项和公比都为2，数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + ⋯ + \frac{1}{S_{n}} < \frac{7}{10}$ ．

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $∠ S A B = ∠ D A B = 6 0^{∘}$ ， $S A = 3$ ， $A B = A D = 2 B C = 2$ ， $S B = S D$ ，点 $E$ 在线段CD上，AE与BD相交于点 $G$ ，点 $G$ 是线段BD的中点．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $S A E$ ；

(2)、若点F为线段SE的中点，记直线 $S C$ 与平面 $A B F$ 所成角为 $θ$ ，求 $s i n θ$ 的值．

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21. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点 $A (2 ， 2 \sqrt{2})$ 在抛物线上，斜率为2的直线 $l$ 与拋物线交于 $B ， C$ 两点（点 $C$ 在点 $B$ 的下方）．

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、如图，点 $D (x_{1} ， y_{1})$ 在抛物线 $E$ 上，且 $x_{1} > 2$ ，线段AD与线段BC相交于点 $P$ ．若 $| P A | | P D | = 2 | P B | | P C | \neq 0$ ，当 $△ A D C$ 面积取到最大值时，求点 $C$ 的坐标．

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22. 已知 $a ， k \in R$ ，设函数 $f (x) = l n (x + a) - k a x$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $(- a ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若对任意实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 均有零点，求实数 $k$ 的最大值；

(3)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} + a (x_{1} + x_{2}) < \frac{1}{k^{2} a^{2}}$ ．

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