浙江省绍兴市上虞区2021-2022学年高三上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-03-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x \in Z | | x - 1 | \leq 1}$ ， $B = {x \in R | \frac{x - 4}{x - 1} > 0}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[2 ， 4)$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${2 ， 1}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(\pm 1 ， 0)$ B、 $(0 ， \pm 1)$ C、 $(\pm \sqrt{3} ， 0)$ D、 $(0 ， \pm \sqrt{3})$

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3. 若复数 $z = \frac{1}{2} + b i$ （ $b \in R$ ， $i$ 为虚数单位）满足 $z \cdot \bar{z} = - b$ ，其中 $\bar{z}$ 为 $z$ 的共扼复数，则 $| \frac{z}{1 + 2 i} |$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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4. “ $α$ 为锐角”是“ $0 < c o s α < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y + 2 \leq 0 \\ 2 x + y \leq 0 \\ x - y + 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - 3 y + 2$ 的最大值为（）

A、-6 B、-3 C、 $- \frac{6}{5}$ D、-9

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6. 函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）

A、25 B、 $\frac{75}{8}$ C、 $\frac{75}{6}$ D、9

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8. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，满足 $x^{2} + 2 x y - 2 = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， $(a ， b > 0)$ 的左右焦点记为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与该双曲线的一条渐近线平行，记 $l$ 与双曲线的交点为P，若所得 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径恰为 $\frac{b}{3}$ ，则此双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{2}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $0 < a_{1} < 1$ ， $e^{a_{n + 1}} = (3 - a_{n}) e^{a_{n}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 为递减数列 B、存在 $n \in N^{*}$ ，便得 $a_{n} < 0$ C、存在 $n \in N^{*}$ ，便得 $a_{n} > 2$ D、存在 $n \in N^{*}$ ，便得 $a_{n} > \frac{4}{3}$

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二、填空题

11. 设 $a = l g 2$ ， $b = l g 5$ ，则 $1 0^{a} =$ ， $5^{a} \cdot 5^{b} =$ ．

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12. 若 $s i n θ = \frac{3}{5}$ ， $\frac{5 π}{2} < θ < 3 π$ ，则 $t a n \frac{θ}{2} + 2 c o s \frac{θ}{2} =$ ．

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13. 某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等9名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天．现要求甲、乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为．（请算出实际数值）

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14. 设向量 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ， $| \vec{a} | = | \vec{b} | = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，点 $C$ 在 $∠ A O B$ 内，且向量 $\vec{c}$ 与向量 $\vec{a} - \vec{c}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\frac{| \vec{c} |}{| \vec{c} - \vec{b} |}$ 的取值范围是．

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15. 在 ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{n}$ 的展开式中，若 $n = 5$ ，则含 $x$ 项的系数是；若常数项是24，则 $n =$ ．

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16. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下：且 $E (ξ) = \frac{7}{2}$ ，则实数 $x =$ ，若随机变量 $η = 2 ξ - 3$ ，则 $D (η) =$ ．
$ξ$
2
3
4
$P$
$x$
$y$
$\frac{2}{3}$

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17. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $3$ ，点E、F分别在 $C C_{1}$ 、 $B B_{1}$ 上， $\vec{C_{1} E} = 2 \vec{E C}$ ， $\vec{B F} = 2 \vec{F B_{1}}$ ．动点 $M$ 在侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内（包含边界）运动，且满足直线 $B M / /$ 平面 $D_{1} E F$ ，则点 $M$ 在侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 的轨迹的长度为，三棱锥 $D_{1} - E F M$ 的体积为．

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三、解答题

18. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3} (a - b c o s C) = c s i n B$ ，点M为AC的中点，且 $B M = 1$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 底边长为2，E，F分别为 $B B_{1}$ ， AB的中点．

(1)、求证：平面 $A_{1} C F ⊥$ 平面 $A_{1} E F$ ；

(2)、若 $A_{1} E$ 与平面 $A_{1} F C$ 所成的角的正弦值为 $\frac{3}{5}$ ，求 $A A_{1}$ 的值．

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20. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}^{2} - a_{n} = 2 S_{n - 1}$ ， $(n \geq 2)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ 与前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{2 n - 1} a_{2 n}}$ ，设 $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求证 $T_{n} \geq \frac{2 n}{3 n + 1}$ ．

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到准线的距离是 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求抛物线方程；

(2)、设点 $P (m ， 1)$ 是该抛物线上一定点，过点 $P$ 作圆 $O$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ （其中 $0 < r < 1$ ）的两条切线分别交抛物线 $C$ 于点A，B，连接AB．探究：直线AB是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - a x$ ， $e$ 为自然对数的底数， $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = - 1$ 时，证明： $(e^{- x} + 1) f (x) < (\frac{2}{e} + 1) x$ ．

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$ξ$	2	3	4
$P$	$x$	$y$	$\frac{2}{3}$