浙江省绍兴市2021-2022学年高三上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-03-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $A = {1 ， 3} ， B = {1 ， 2 ， 4}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${1 ， 5}$ C、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 已知 $a ， b \in R ， (2 + i) (a + b i) = 3 - i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $a - 3 b =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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3. 某几何体的三视图（单位： $c m$ ）如图所示，则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、 $8 - 2 π$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $8 - \frac{2 π}{3}$ D、 $8 - \frac{π}{3}$

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4. 若 $a \in R$ ，则“ $a < 1$ ”是“ $l n a < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分有不必要条件

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5. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c} ， | \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = | \vec{c} | = 2$ ，若 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 函数 $f (x) = l o g_{a} x (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 与函数 $g (x) = a x^{2} - 2 x$ 在同一坐标系内的图象不可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ， P$ 是直线 $A_{1} C$ 上一点，（）

A、若 $\vec{A_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{A_{1} C}$ ，则直线 $A P$ $∥$ 平面 $B C_{1} D$ B、若 $\vec{A_{1} P} = \frac{1}{2} \vec{A_{1} C}$ ，则直线 $A P$ $∥$ 平面 $B C_{1} D$ C、若 $\vec{A_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{A_{1} C}$ ，则直线 $B P ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ D、若 $\vec{A_{1} P} = \frac{1}{2} \vec{A_{1} C}$ ，则直线 $B P ⊥$ 平面 $A C D_{1}$

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8. 已知圆C： $x^{2} - 4 x + y^{2} + 2 = 0$ ，设 $P (x_{0} ， y_{0})$ 为直线 $l ： x + y - 2 = 0$ 上一点，若C上存在一点 $Q$ ，使得 $| P Q | = 3 \sqrt{2}$ ，则实数 $x_{0}$ 的值不可能的是（）

A、-2 B、0 C、2 D、4

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9. 若 $f (x) = | x - a | + | x | ， g (x) = x^{3} + b$ ，若 $F (x) = f [g (x)]$ 的图象关于直线 $x = t$ 对称，则（）

A、 $t = 0$ ，且 $a = b$ B、 $t = 1$ ，且 $a = b$ C、 $t = 0$ ，且 $a = 2 b$ D、 $t = 1$ ，且 $a = 2 b$

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = a (\frac{1}{9} < a < \frac{2}{17}) ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n}^{2} - a_{n} + 1}$ ，若 $a_{6} = \frac{1}{5}$ ，则（）

A、 $0 < S_{5} < \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} < S_{5} < 1$ C、 $1 < S_{5} < \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2} < S_{5} < 2$

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二、填空题

11. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇 $\overset{⌢}{A O B}$ 的示意图，已知 $C$ 为 $O A$ 的中点， $O A = 1 ， ∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，则此扇面（扇环）部分的面积是.

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12. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ .左，右焦点，若 $C$ 上存在一点 $M$ ，使得 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 3 | M O |$ 成立，其中 $O$ 是坐标原点，则 $C$ 的离心率的取值范围是.

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13. 已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， A D = 1$ ，点 $E ， F ， G ， H$ 分别在边 $A B ， B C ， C D ， A D$ 上（包含端点），若 $\vec{E G} \cdot \vec{H F} = 2$ ，则 $\vec{E G}$ 与 $\vec{H F}$ 夹角的余弦值的最大值是.

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14. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y ⩾ 0 \\ 2 x - y - 2 ⩽ 0 \\ x ⩾ 0 \end{array}$ ，则 $2 x + y$ 的最小值是，最大值是.

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15. 在 $(x - 1) (1 + x)^{5}$ 的展开式中，常数项为， $x^{2}$ 的系数是.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3} ， A B = 2 ， M$ 是边 $B C$ 上一点，且 $B M = 2 M C ， A M = 2 \sqrt{3}$ ，则 $B C =$ ， $s i n ∠ A C B =$ .

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17. 袋子中有3个白球，2个红球，现从中有放回地随机取2个球，每次取1个，且各次取球间相互独立.设此过程中取到的红球个数为 $ξ$ ，则 $P (ξ = 1) =$ ， $E (ξ) =$ .

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = s i n x$ .

(1)、若 $f (φ - x) = f (x + \frac{π}{3})$ 对于任意实数 $x$ 恒成立，其中 $| φ | \leq π$ ，求 $ϕ$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f^{2} (x) + f^{2} (x + \frac{π}{6})$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的取值范围.

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19. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，平面 $D C C_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = D D_{1} = D_{1} C_{1} = C_{1} C = \frac{1}{2} D C = 1$ .

(1)、求证： $B D_{1} ⊥ D D_{1}$ ；

(2)、求直线 $B D_{1}$ 和平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = \frac{1}{4}$ ，且 $S_{n} = \frac{n^{2}}{2 n + 1} \cdot a_{n + 1} ， n \in N^{*}$ .

(1)、求 $a_{2}$ 的值，并证明：数列 ${\frac{a_{n}}{2 n - 1}}$ 是一个常数列；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \sqrt{\frac{4}{S_{n} S_{n + 1}}}$ ，记 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $16 T_{k} - 2 S_{k + 1} > 89$ ，求正整数 $k$ 的值.

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21. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，经过拋物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于 $P ， Q$ 两点， $C_{2}$ 在点 $P$ 处的切线 $l_{2}$ 交 $C_{1}$ 于 $A ， B$ 两点，如图.

(1)、当直线 $P F$ 垂直 $x$ 轴时， $| P F | = 2$ ，求 $C_{2}$ 的准线方程；

(2)、若三角形 $A B Q$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，且 $a < 2 b$ ，求 $\frac{| P F |}{| Q F |}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} - \frac{1}{2} x^{2} (a \in R)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，其中 $e = 2.71828 ⋯$ 为自然对数的底数.

(1)、记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，证明： $f^{'} (1) < 0$ ；

(2)、证明： $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} < \frac{1}{2}$ .

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