浙江省宁波市慈溪市2021-2022学年高三上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-03-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 3 ， 4}$ ， $B = {x | 1 < x < 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 5}$ B、 ${x | 1 \leq x < 5}$ C、 ${1 ， 3 ， 4}$ D、 ${3 ， 4}$

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2. 已知复数 $z = 3 + 4 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、7 B、5 C、4 D、3

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3. 已知直线 $l_{1} ： a x + y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： 2 x + (a - 1) y + 1 = 0$ ，则“ $a = - 1$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、 $2 π - 1$ B、 $2 π - 4$ C、 $8 π - \frac{1}{2}$ D、 $8 π - 2$

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5. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ x - 2 y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最小值为（）

A、5 B、4 C、-5 D、-6

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6. 如图，在正四面体 $A - B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $A C$ 、 $A B$ 的中点， $M$ 、 $N$ 分别是 $B E$ 、 $D F$ 的中点，则（）

A、直线 $B E$ 与 $D F$ 垂直，直线 $M N / /$ 平面 $B C D$ B、直线 $B E$ 与 $D F$ 垂直，直线 $M N$ 与平面 $B C D$ 相交 C、直线 $B E$ 与 $D F$ 异面且不垂直，直线 $M N / /$ 平面 $B C D$ D、直线 $B E$ 与 $D F$ 异面且不垂直，直线 $M N$ 与平面 $B C D$ 相交

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7. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = c o s x$ ，则部分图像为如图的函数可能是（）

A、 $y = f (x) + g (x)$ B、 $y = f (x) - g (x)$ C、 $y = f (x) \cdot g (x)$ D、 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$

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8. 设 $θ$ 为三角形的一个内角，已知曲线 $C ： \frac{x^{2}}{s i n θ} + y^{2} c o s θ = 1$ ，现给出以下七个曲线：（1）焦点在x轴上的椭圆，（2）焦点在y轴上的椭圆，（3）焦点在x轴上的双曲线，（4）焦点在y轴上的双曲线，（5）抛物线，（6）圆，（7）两条直线.其中是C可以表示的曲线有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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9. 设 $α$ ， $β$ 为梯形ABCD的两个内角，且满足： $c o s α = - \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ， $t a n (β - α) = \frac{1}{2}$ ，则 $2 β - α =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $- \frac{π}{4}$ D、 $- \frac{3 π}{4}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{6 a_{n} + 5 \sqrt{a_{n}} + 1} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $1 < S_{2021} < \frac{7}{5}$ B、 $\frac{7}{5} < S_{2021} < \frac{12}{5}$ C、 $\frac{12}{5} < S_{2021} < \frac{17}{5}$ D、 $\frac{17}{5} < S_{2021} < \frac{22}{5}$

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二、填空题

11. 我国古代数学著作《九章算术.商功》阐述：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”鳖臑是一类特殊的三棱锥，它的四个面都是直角三角形.如图，已知三棱锥 $P - A B C$ 是一个鳖臑，且 $P A ⊥$ 平面ABC， $P A = A B = B C = 1$ ，则 $P C =$ .

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12. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - \frac{2}{x} ， x > 0 ， \\ x + \frac{4}{x} + a ， x < 0 ， \end{array}$ 若 $f (f (1)) = 2$ ，则 $a =$ .

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13. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，其中 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量且满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ， $4 {\vec{c}}^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{c} - 4 \vec{b} \cdot \vec{c} = 1$ ，若 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b} (x ， y \in R)$ ，则 $x + y$ 的最小值为.

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14. 若 ${(x + 1)}^{6} - {(x - 1)}^{5} = x^{6} + a_{1} x^{5} + a_{2} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{2} + a_{5} x + a_{6}$ ，则 $a_{5} =$ ，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，点D在边AC上，且 $2 A D = D C$ ，设R是 $△ A B D$ 外接圆的半径，则 $A C =$ ， $R =$ .

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16. 甲乙两个袋子中分别装有若干个大小和质地相同的红球和绿球，且甲乙两个袋子中的球的个数之比为1：3，已知从甲袋中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{4}$ ，从乙袋中摸出一个红球的概率为p.若从甲袋中有放回的摸球，每次摸出一个，直至第2次摸到红球即停止，恰好摸4次停止的概率为；若将甲､乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{8}$ ，则p的值为.

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17. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点为F，过原点和F分别作倾斜角为 $θ$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 与椭圆C相交于A､B两点， $l_{2}$ 与椭圆C相交于M､N两点，那么，当 $θ = \frac{π}{3}$ 时， $| M N | =$ ；当 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $\frac{{| A B |}^{2}}{| M N |} =$ .

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三、解答题

18. 设函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + c o s 2 x (x \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $y = f (x) - (c o s x - s i n x) \cdot (c o s x + s i n x + 1)$ 的取值范围.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 5$ ， $B C = 2 A C = 4$ ， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ，点M在线段BC上，且 $3 B M = 5 M C$ .

(1)、求证： $A B ⊥ P M$ ；

(2)、求二面角 $P - A C - B$ 的平面角的余弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} + (2 n - 11) a_{n} = 0 (n \in N^{*})$ ，设数列 ${| b_{n} |}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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21. 已知点 $F (1 ， 0)$ 为抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，设 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两个不同的动点，存在动点 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} < 0)$ 使得直线PA，PB分别交抛物线的另一点M，N，且 $3 | P M | = | M A |$ ， $3 | P N | = | N B |$ .

(1)、求抛物线的方程；

(2)、求证： $y_{1} + y_{2} = 2 y_{0}$ ；

(3)、当点P在曲线 $y^{2} = - 12 x (- 2 \leq x \leq - 1)$ 上运动时，求 $△ P A B$ 面积的取值范围.

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22. 设函数 $f (x) = x^{2} - l n x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = b$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ､ $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，当 $b > e^{2}$ 时，证明： $x_{2} > e^{b} x_{1}$ .（注： $e = 2.71828$ …是自然对数的底数）

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