浙江省精诚联盟2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-07 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知点A（1，-1），B（1，2），则直线AB的倾斜角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

查看试题解析
2. 在复平面内，复数 $\frac{i}{1 + i}$ 对应的点在第（）象限.

A、一 B、二 C、三 D、四

查看试题解析
3. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 8}$ ，集合 $B = {2 ， 3 ， a ， 8}$ ，则“ $a = 4$ ”是“ $A ∩ B = {2 ， 8}$ ”成立的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 代表.若用向量 $\vec{d}$ 代表整条手臂，则（）

A、 $| \vec{a} | + | \vec{b} | + | \vec{c} | = | \vec{d} |$ B、 $| \vec{a} | + | \vec{b} | = | \vec{c} | + | \vec{d} |$ C、 $\vec{a} + \vec{c} = \vec{d} - \vec{b}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c} - \vec{d}$

查看试题解析
5. 若实数x，y满足条件 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ π B、π C、 $\frac{2}{3}$ π D、 $\frac{1}{3}$ π

查看试题解析
7. 根据2021年某地统计资料，该地车主购买甲种保险的概率为0.4，购买乙种保险的概率为0.3，由于两种保险作用类似，因而没有人同时购买，设各车主购买保险相互独立，则估计该地100位车主中甲､乙两种保险都不购买的车主平均有（）人

A、40 B、30 C、20 D、10

查看试题解析
8. 函数 $f (x) = \frac{| x |}{s i n x} ， x \in (- π ， 0) ∪ (0 ， π)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} \geq 0$ ，对任意 $n \geq 2 ， n \in N^{*} ， a_{n - 1} ， a_{n} ， a_{n + 1}$ 中存在一项是另外两项之和，且 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2 ， a_{4} = 5$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的则前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2021}$ 的最小值为（）

A、1361 B、1481 C、1681 D、2021

查看试题解析
10. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象恰为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ x轴上方的部分，若 $f (s - t)$ ， $f (s)$ ， $f (s + t)$ 成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（）

A、线段（不包含端点） B、椭圆一部分 C、双曲线一部分 D、线段（不包含端点）和双曲线一部分

查看试题解析

二、填空题

11. 1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文在这篇文章中，他描述了用 $α$ 粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望 $α$ 粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分 $α$ 粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的 $α$ 粒子遵循双曲线一支的路径.则该双曲线的离心率为，如果 $α$ 粒子的路径经过（10，5），则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 $c m$ .

查看试题解析
12. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 2 ， C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 6 = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是；若点P在直线l： $x - y + 5 = 0$ 上运动，点Q在圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的圆周上运动，则|PQ|的最小值为.

查看试题解析
13. 已知二项式 ${(x - \frac{2}{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，第4项的系数为-32，则n= ，常数项为.

查看试题解析
14. 在△ABC中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为a，b，c，且 $a = 2 s i n A ， b = 2 \sqrt{3} c o s B$ ；则角B=；a的取值范围为.

查看试题解析
15. 空间四边形ABCD中， $A B = B C = C D ， A B ⊥ B C ， B C ⊥ C D$ ， AD与BC成 $4 5^{∘}$ 角，则异面直线AB与CD所成角的大小为.

查看试题解析
16. 为庆祝建党100周年，某高校选派3位男同学､3位女同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，在安排节目顺序的时候，要求男同学先讲，3位女同学不能连着讲，则不同的安排顺序共有种.

查看试题解析
17. 如图，已知菱形 $A B C D$ ， $A B = 2 ， ∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，沿直线 $A C$ 将 $△ A C D$ 翻折成 $△ A C S$ ， $E ， F$ 分别为 $S A ， S B$ 的中点， $S A$ 与平面ABC所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $M$ 为线段 $A C$ 上一点（含端点），则AE与平面EFM所成角的正弦值的最大值为.

查看试题解析

三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (x - \frac{π}{6}) - c o s (x - \frac{π}{6})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、已知 $a \in R$ ，若函数 $y = f (x) - a$ 在区间[0， $π$ ]上恰好有两个零点，求a的取值范围.

查看试题解析
19. 如图，四边形ABCD中， $∠ A D C = \frac{π}{2}$ ， $A D = 2 C D = 4$ ， $A E = E C$ ，沿对角线AC将△ACD翻折成△ $A C D^{'}$ ，使得 $B E ⊥ C D^{'}$ .

(1)、证明： $B D^{'} = B C$ ；

(2)、若 $△ A B D^{'}$ 为等边三角形，求二面角 $D^{'} - A B - C$ 的余弦值.

查看试题解析
20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列{ $b_{n}$ }的前n项和为 $T_{n}$ ， $n \in N^{*}$ 且 $a_{1} = b_{1} = 2 ， b_{3} = a_{7} ， T_{3} = S_{4}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和数列{ $b_{n}$ }的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{a_{n + 1}}{a_{n} b_{n}}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + ⋯ + c_{n} < 1$ .

查看试题解析
21. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ .焦点为F，过 $P (0 ， - 1)$ 的直线l与抛物线C交于A､B两点，AB中点为M.

(1)、若 $| A B | = 2 | M F |$ ，求直线l的方程；

(2)、过A､B分别作抛物线C的切线，交点记为H.
（i）求点H的轨迹方程；
（ii）直线FH与直线l交于点Q，以MF为直径的圆与直线l的另一个交点为N，判断 $| P Q | \cdot | P N |$ 是否为定值.若是，求出定值并给予证明，若不是，请说明理由.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a s i n x ， g (x) = l n (x + 1) - a s i n x$ .

(1)、若 $y = f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、若不等式 $f (x) \geq c o s x$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上恒成立，判断函数 $g (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上的零点个数，并说明理由.

查看试题解析