浙江省金丽衢十二校2021-2022学年高三上学期期末第一次联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ， $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {2 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、{1} C、{3} D、 ${1 ， 3 ， 5}$

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2. 设 $z = (1 + 3 i) i$ ，则在复平面内z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 实数x，y满足条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y + 2 \geq 0 ， \\ 2 x - 3 y + 6 \leq 0 ， \\ x \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + 3 y$ 的取值范围是（）

A、 $[- 6 ， 0]$ B、 $[0 ， 6]$ C、 $[0 ， + ∞)$ D、 $[6 ， + \infty)$

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： $c m^{2}$ ）是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{7}{6}$ C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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5. 过点 $(2 ， - 1)$ 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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6. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = S_{13}$ ， $a_{6} + a_{14} < 0$ ，则使得 $S_{n} < 0$ 的正整数n的最小值为（）

A、16 B、17 C、18 D、19

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7. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“ $∠ C$ 是锐角”是“ $c^{2} < 2 (a^{2} + b^{2})$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，设 $g (x) = e^{- x} \cdot f (x)$ ，若函数 $g (x)$ 的导函数 $g^{'} (x)$ 的图像如图所示，则（）

A、 $a < b$ ， $b < c$ B、 $a > b$ ， $b > c$ C、 $\frac{b}{a} > 1$ ， $b = c$ D、 $\frac{b}{a} < 1$ ， $b = c$

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9. 当实数m变化时，不在任何直线 $4 m x + (1 - m^{2}) y - 2 m^{2} - 2 = 0$ 上的所有点 $(x ， y)$ 形成的轨迹边界曲线是（）

A、圆 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线

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10. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，顶点P在底面的射影为 $△ A B C$ 的垂心O（O在 $△ A B C$ 内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面 $α$ ，过BM作平行于AC的截面 $β$ ，记 $α$ ， $β$ 与底面ABC所成的锐二面角分别为 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ，若 $∠ P A M = ∠ P B M = θ$ ，则下列说法错误的是（）

A、若 $θ_{1} = θ_{2}$ ，则 $A C = B C$ B、若 $θ_{1} \neq θ_{2}$ ，则 $t a n θ_{1} \cdot t a n θ_{2} = \frac{1}{2}$ C、 $θ$ 可能值为 $\frac{π}{6}$ D、当 $θ$ 取值最大时， $θ_{1} = θ_{2}$

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二、填空题

11. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{a} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则实数a的值为．

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12. 甲、乙2人各投篮1次，投进的概率分别是 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，则2人中恰有1人投进的概率为．

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13. 已知函数 $f (x) = 2 x - | l n x - a |$ ．若存在实数a，使得集合 ${x | f (x) = \frac{t}{a}}$ 中的元素至少有2个，则实数t的最小值为．

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14. 平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{c} | = 1$ ， $\vec{b^{2}} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \frac{\sqrt{2}}{2} | \vec{b} - \vec{c} | = \vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{c})$ ， $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |}{\vec{b} \cdot \vec{c}} = | \vec{a} + \frac{1}{| \vec{b} |} \vec{b} |$ ，则 ${(\vec{b} - \vec{c})}^{2} =$ ．

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15. 杨辉三角在我国最早由贾宪在《释锁算术》中提出，后来南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》中进行了详细说明．杨辉三角中的三角形数表，是自然界和谐统一的体现．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列.其中蕴含着二项式系数的性质，例如递推性质 $C_{n + 1}^{i} = C_{n}^{i - 1} + C_{n}^{i}$ ．在 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，第三项和第四项的二项式系数和为，常数项为．

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16. 在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $2 s i n^{2} \frac{A + B}{2} - c o s 2 C = 1$ ，则角 $C =$ ；若 $b - a$ ， $\frac{c}{2}$ ， $b + a$ 成等比数列，则 $\frac{s i n B}{s i n A} =$ ．

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17. 随机变量 $ξ$ 的分布列如下表，其中 $\frac{1}{4} \leq p \leq \frac{1}{2}$ ．当 $p =$ 时， $E (ξ)$ 取最大值；当 $p =$ 时， $D (ξ)$ 有最大值．
$ξ$
1
2
3
P
p
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3} - p$

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三、解答题

18. 设 $a \in (0 ， 2 π)$ ，将奇函数 $f (x) = s i n (x + a)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图像．

(1)、求a的值及函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、设 $F (x) = 2 {[f (x)]}^{2} + g (x)$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求函数 $F (x)$ 的值域．

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19. 在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， $A C ⊥ B C$ ，点 $H$ 在棱 $A C$ 上，且满足 $B_{1} H ⊥ A C$ ， $C H = 3$ ， $B_{1} H = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ B_{1} B C = 45 °$ ．

(1)、求证： $B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、求 $B_{1} C$ 与平面 $A A_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 已知各项为正的数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{3}$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3 a_{n} + 4} (n \in N^{*})$ ．

(1)、设 $a > 0$ ，若数列 ${l o g_{a} (\frac{1}{a_{n}} + 1)}$ 是公差为2的等差数列，求a的值；

(2)、设数列 ${\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明 $5 \leq S_{n} < 4 n + \frac{4}{3}$ ．

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21. 如图，已知F是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过点 $A (4 ， 0)$ 的直线l与抛物线交于两个不同的点M，N（M是第一象限点），MN的垂直平分线交抛物线于P，Q．当直线l的斜率为 $- \sqrt{2}$ 时， $| M F | = 3$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、若 $p > 1$ ，求 $| P Q |$ 的最小值．

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22. 已知 $n \in N^{*}$ ，函数 $f (x) = (n - x^{2}) e^{- x}$ ， $g (x) = n {(1 - \frac{x}{n})}^{n}$ ．

(1)、若 $n = 8$ ，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x \in (- \infty ， n]$ 时，求证： $f (x) \leq g (x)$ ．

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$ξ$	1	2	3
P	p	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3} - p$