浙江省金华十校2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = A$ B、 $A ∩ B = B$ C、 $A ∪ B = B$ D、 $A \subseteq B$

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2. 已知复数z有 $z \cdot i = 3 + 4 i$ （ $i$ 是复数单位）成立，则复数z满足（）

A、 $z \cdot \bar{z} = 5$ B、 $\bar{z} = - 4 - 3 i$ C、对应的点在复平面的第二象限 D、 $| z | = 5$

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3. 正多面体被认为是构成宇宙的基本元素，加上它的多种变体，一直是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.若连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，则正方体与所得八面体的表面积之比为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、6

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4. “ $x_{1} > | x_{2} |$ ”是“ $x_{1}^{3} > x_{2}^{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知x，y满足 ${\begin{array}{l} x - 2 y - 2 ⩾ 0 ， \\ 2 x - y - 2 ⩾ 0 ， \\ x ⩾ 0 ， \end{array}$ 则（）

A、 $x - y$ 的最大值是2 B、 $x - y$ 的最小值是 $\frac{4}{3}$ C、y的最大值为0 D、 $\frac{y}{x}$ 的最小值为-1

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6. $(x - \frac{2}{x^{2}})^{5}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数为（）

A、-10 B、10 C、40 D、-40

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7. 随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
1
a
9
P
b
$1 - 2 b$
b
其中 $1 < a < 9$ ， $0 < b < \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 5$ ，则当 $0 < b < \frac{1}{2}$ 时， $E (ξ)$ 随b的增大而增大 B、若 $a = 5$ ，则当 $0 < b < \frac{1}{2}$ 时， $E (ξ)$ 随b的增大而减小 C、若 $b = \frac{1}{3}$ ，则当 $a = 5$ 时， $D (ξ)$ 有最小值 D、若 $b = \frac{1}{3}$ ，则当 $a = 5$ 时， $D (ξ)$ 有最大值

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8. 已知函数 $y = f (x)$ 的部分图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = (2^{x} - 2^{- x}) (l n | x | - x)$ B、 $f (x) = (2^{x} - 2 x) (l n | x | + x)$ C、 $f (x) = (2^{x} + 2^{- x}) (l n | x | - x + 2)$ D、 $f (x) = (2^{x} + 2^{- x}) (l n | x | - x - 2)$

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9. 已知集合 $M = {s i n α ， c o s α ， t a n α}$ $[α \in (0 ， \frac{π}{2})] ， N = {a ， b ， c} (a ， b ， c \in R)$ ，则满足 $M = N$ 且 $a + b = 2 c$ 的集合N的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 有 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且满足 $\frac{a_{n + 2}}{a_{n}} = \frac{a_{n + 1}^{2} + 1}{a_{n}^{2} + 1}$ ，则 $a_{2022}$ 的数值所在区间为（）

A、（40，60） B、（60，80） C、（80，100） D、（100，120）

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二、填空题

11. 双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的离心率为；若过焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线的渐近线A，B两点，则 $| A B | =$

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12. 已知某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的侧面中共有个直角三角形，该几何体的体积为.

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13. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x - 2 c o s^{2} x$ ，则 $f (x)$ 图象的对称轴是， $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递减区间为.

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14. 小明父母为了改善居家条件，10月1日用分期付款的方式去商家购买总价为12000元的空调，首付2000元，以后每月1日付给商家500元和截止上月全部欠款的利息（月利率为1%），直到贷款讫清.若当年11月1日算第一次付款，则第10次应付元，购买空调共花了元.

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15. 3个男生和3个女生排成一排，要求男生互不相邻，女生不全相邻，则不同的排列方法有种.

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16. 已知O为坐标原点，点A，B是直线 $l ： t x + \sqrt{2} y - \sqrt{2} t = 0 (t > 0)$ 与x轴，y轴的交点，点C是直线l上位于第四象限的一点，且 $3 s i n ∠ O C A = c o s ∠ O B A$ ，则线段OC的长为.

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17. 已知单位向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}} ， \vec{e_{3}} ， \vec{e_{4}}$ 满足 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = - \frac{31}{32}$ ， $0 < \vec{e_{3}} \cdot \vec{e_{4}} ⩽ \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则对任意 $t \in R$ ， $| \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} + \vec{e_{3}} + t \vec{e_{4}} |$ 的最小值为.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \frac{4}{5} s i n^{2} x + \frac{3}{5} s i n 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及最大值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 $a = 5$ ， $b = \sqrt{13}$ ， $f (A) = 0$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = 8$ ， $A A_{1} = 6$ ， P是线段BD上一点.

(1)、若 $9 D P = 7 P B$ ，求证： $A D_{1} ⊥$ 平面 $P A_{1} B_{1}$ ；

(2)、若二面角 $P - A D_{1} - D$ 的大小为 $60 °$ ， $∠ P D_{1} A = 45 °$ ，求直线 $P D_{1}$ 和平面 $P A_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为 $1$ ，公差不为 $0$ 的等差数列： $a_{1} ， a_{2} ， a_{5}$ 成等比数列.数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{1}}{2^{n - 1}} + \frac{b_{2}}{2^{n - 2}} + \frac{b_{3}}{2^{n - 3}} + ⋯ + b_{n} = a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： ${(1 + \frac{1}{_{a}})}^{2} \cdot {(1 + \frac{1}{_{a}})}^{2} \cdot {(1 + \frac{1}{_{a}})}^{2} ⋯ {(1 + \frac{1}{_{a}})}^{2} > a_{n + 1}$ .

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为 $l$ ，点P是抛物线C上的动点.

(1)、若P在直线 $l$ 上的投影为 $P^{'}$ ，且 $△ P F P^{'}$ 为等边三角形，求点P的坐标.

(2)、过点P作直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别交直线 $l$ 于A，B，若 $△ P A B$ 的内心恰为原点O，求 $△ O A B$ 面积的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot | x - 1 | - a (a \in R)$ .

(1)、判断 $f (x) = 0$ 的根的个数；

(2)、若函数 $t (x) = f (x - \frac{1}{2}) (x \in [0 ， 1.7])$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，证明： $x_{2} - x_{1} < \frac{(e + 1) a}{e}$ .

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