浙江省嘉兴市2021-2022学年高三上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-03-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ l o g_{2} x < 2}$ ， $N = {x ∣ 2 < x < 5}$ ，则 $M ∪ N =$ （）

A、 ${x ∣ 4 < x < 5}$ B、 ${x ∣ 0 < x < 4}$ C、 ${x ∣ 0 < x < 5}$ D、 ${x ∣ 2 < x < 4}$

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2. 复数z满足 $z (1 - i) + 1 = 0$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 设实数满x，y满足 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最小值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $| a b | \geq 1$ ”是“ $a^{2} + b^{2} \geq 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 某几何体的三视图（单位： $c m$ ）如图所示，则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、3 D、8

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6. 函数 $y = s i n x \cdot \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是AB和 $A_{1} D_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} C$ 与EF共面， $A_{1} C / /$ 平面 $F D C_{1}$ B、 $A_{1} C$ 与 $D C_{1}$ 垂直， $A_{1} C / /$ 平面 $F D C_{1}$ C、 $A_{1} C$ 与EF异面， $E F ⊥$ 平面 $F D C_{1}$ D、EF与 $D C_{1}$ 垂直， $E F ⊥$ 平面 $F D C_{1}$

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8. 已知点 $A (0 ， \sqrt{5})$ ， $B (0 ， - \sqrt{5})$ ，若曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 0 (a > 0 ， b > 0)$ 上存在点P满足 $| P A | - | P B | = 4$ ，则下列正确的是（）

A、 $b < a + 1$ B、 $b < 2 a$ C、 $b > a + 1$ D、 $b > 2 a$

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9. 已知正实数x，y，z，ω满足 $x \leq y \leq z$ ，且 $x + z = y + w$ ，则 $\frac{z}{2 x} + \frac{w}{y}$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = l n x + x^{2} - 1$ ，若存在 $x_{0} \in [1 ， e]$ ，使得 $f [f (x_{0}) - b] = x_{0} + b$ ，则实数b的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， e^{2}]$ B、 $[0 ， e^{2} - e]$ C、 $[- 1 ， e^{2} - e]$ D、 $[0 ， e^{2}]$

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二、填空题

11. 鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，它是以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如下图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的长度为 $π$ ，则线段AB的长为.

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点对称的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是.

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13. 已知非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = 4$ ，且 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = - 1$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，且 $θ \in [\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ，则 $\vec{c}$ 的模取值范围是.

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14. 已知函数则 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x ， x > 1 \\ 2^{x} + 4 ， 0 \leq x \leq 1 \end{array}$ ，则 $f (5) =$ ；若，则 $f (f (a)) = 5$ ，则a的值为.

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15. 已知多项式 ${(x + 1)}^{n} + {(x + 2)}^{m} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{n} x^{n}$ ，若 $a_{0} = 5$ ， $a_{2} = 16$ ，则 $m =$ ， $n =$ .

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16. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 3$ ，点D在边BC上，且 $B D = 2 D C = 2$ ，则 $A D =$ ； $s i n ∠ C A D =$ .

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17. 设一个袋子里有红色球 $m (m > 1)$ 个，蓝色球2个，现每次从中任取两个球，不放回，直到取出两个同色球为止，记取球的次数为 $ξ$ ，若 $P (ξ = 1) = \frac{4}{7}$ ，则 $m =$ ； $E (ξ) =$ .

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4}) c o s (x - \frac{π}{4})$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{8})$ 的值；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求函数 $y = f (x) + f (x + \frac{π}{4})$ 的取值范围.

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19. 如图，四棱锥 $A - B C D E$ 的底面为等腰梯形， $D E ∥ B C$ ，且 $∠ D C B = 45 °$ ， $A B ⊥ A C$ ，平面 $A C D ⊥$ 平面ACB.

(1)、求证： $C D ⊥ A B$ ；

(2)、若 $B C = 2 D E = 2 A B = 2$ ，求直线AE与平面ACD所成角的大小.

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20. 已知递增的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{7} = 9$ ， $a_{4} a_{5} = 20$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} + b_{n + 1} = 3^{n}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、分别求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $| T_{n} - 3 | > \frac{1}{a_{n}}$ ，求n的值.

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过抛物线外一点 $P (m ， n)$ 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线 $l ： y = \frac{3}{2} x$ 上，求三角形ABP面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{b}{x} - 2 l n x (a > 0 ， b > 0)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求ab的最小值；

(2)、当 $a = 1$ ， $b > 1$ ， $f^{'} (x) = m$ 有两个不同的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) + 2 m > 0$ .

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