浙江省杭州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-03-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {a ， 1}$ ，若 $A ∪ B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则实数a的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 设 $m \in R$ ，则“ $m = 2$ ”是“复数 $z = (m + 2 i) (1 + i)$ 为纯虚数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则下列各选项正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m / / n$ ， $α ∩ γ = m$ ， $β ∩ γ = n$ ，则 $α / / β$ D、若 $α / / β$ ， $β / / γ$ ， $m \subset α$ ， $n \subset γ$ ，则 $m / / n$

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4. 某四棱锥的三视图如图所示，则它的体积等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 已知实数x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - y + 3 \geq 0 \\ x + y + 1 \geq 0 \\ x \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最大值为（）

A、5 B、4 C、-4 D、-7

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6. 设函数 $f (x) = (x - a) | x - a | + b$ （ $a ， b \in R$ ），则（）

A、对任意 $a ， b \in R$ ，函数 $y = f (x)$ 是奇函数 B、存在 $a ， b \in R$ ，使函数 $y = f (x)$ 是偶函数 C、对任意 $a ， b \in R$ ，函数 $y = f (x)$ 的图象是中心对称图形 D、存在 $a ， b \in R$ ，使函数 $y = f (x)$ 的图象是轴对称图形

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7. 设 $p = l n 2$ ， $q = l g 2$ ，则（）

A、 $p - q > p q > p + q$ B、 $p - q > p + q > p q$ C、 $p + q > p q > p - q$ D、 $p + q > p - q > p q$

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8. 设函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则 $y = f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = s i n (c o s x) c o s (s i n x)$ B、 $f (x) = c o s (c o s x) + c o s (s i n x)$ C、 $f (x) = s i n (c o s x) + c o s (s i n x)$ D、 $f (x) = s i n (s i n x) + s i n (c o s x)$

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9. 在正四面体 ABCD 中，P，Q分别是棱 AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，M 是EF 的中点，则能使点 M 的轨迹是圆的条件是（）

A、PE＋QF＝2 B、PE•QF＝2 C、PE＝2QF D、PE²＋QF²＝2

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10. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} < a_{n + 1}$ ，则下列说法错误的是（）

A、存在数列 ${a_{n}}$ 使得对任意正整数p，q都满足 $a_{p q} = a_{p} + a_{q}$ B、存在数列 ${a_{n}}$ 使得对任意正整数p，q都满足 $a_{p q} = p a_{q} + q a_{p}$ C、存在数列 ${a_{n}}$ 使得对任意正整数p，q都满足 $a_{p + q} = p a_{q} + q a_{p}$ D、存在数列 ${a_{n}}$ 使得对任意正整数p，q部满足 $a_{p + q} = a_{p} a_{q}$

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二、填空题

11. $3^{l o g_{\sqrt{3}} 2} =$ ， $l o g_{3} 18 - l o g_{3} 2 =$ .

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12. 一只口袋里有6只除了颜色以外都一样的小球，其中有蓝色小球 $m$ 只，其余都是红色小球，若在从口袋中随机摸出2只小球，已知只有1只蓝色小球的概率是 $\frac{3}{5}$ ，则 $m =$ ；若从口袋中随机取出3个球，则红色小球的个数期望为.

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13. 若 ${(x + 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{n} x^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）且 $a_{1} + a_{2} = 21$ ，则 $n =$ ， $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} =$ ．

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14. 已知在 $△ A B C$ 中，点D在BC边上，若 $A D = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ D A C = 60 °$ ， $c o s ∠ B A C = \frac{1}{7}$ ，则 $c o s C =$ ， BC=.

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15. 函数 $f (x) = x^{2} - 2 l n x$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程是.

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16. 已知正实数x，y满足 $x^{2} + 9 y^{2} = 1$ ，则 $\frac{3}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是.

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17. 已知向量 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{b_{1}}$ ， $\vec{b_{2}}$ ， ... $\vec{b_{k}}$ （ $k \in N^{*}$ ）是两两互不相等的平面向量， $| \vec{a_{1}} - \vec{a_{2}} | = a$ ， $| \vec{a_{i}} - \vec{b_{j}} | \in {1 ， 2}$ ，（其中 $i = 1$ ， 2； $j = 1$ ， 2，...，k）.若k的最大值是8，则a的取值范围是.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s (2 x - \frac{π}{6}) + 2 s i n^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间：

(2)、若 $x_{0} \in [\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ，且 $f (x_{0}) = \frac{4}{3}$ ，求 $s i n 2 x_{0}$ 的值.

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19. 设函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ （ $a ， b \in R$ ），满足 $f (- 1) = 0$ ，且对任意实数x均有 $f (x) \geq 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ 时，若 $g (x) = | f (x) - k x |$ 是单调函数，求实数k的取值范围.

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B = 2$ ， $P A = \sqrt{2}$ ， E，F分别为AD，PC的中点.

(1)、求证： $B E ⊥ P D$ ；

(2)、求直线AF和平面PBE所成角的正弦值.

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $\sqrt{S_{n} + c} = λ a_{n} + μ$ （ $n \in N^{*}$ ， $λ$ ， $μ$ ， $c \in R$ ， $λ$ ， $μ$ ， c为常数）.

(1)、若 $c = 0$ ， $λ = μ = \frac{1}{2}$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$ ，证明 ${a_{n}}$ 为等差数列.

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22. 已知 $a$ 为实数， $f (x) = (\frac{1}{x - 1} + a) \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数的单调区间；

(2)、对于函数 $f (x)$ 定义域中的任意实数 $x$ ，都存在实数 $t \in [1 ， + \infty)$ ，使得 $f (x) = t$ 成立，求实数 $a$ 的取值集合.

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