黑龙江省双鸭山市集贤县2020-2021学年九年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-04 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）．

A、3a²﹣a²＝3 B、（a+b）²＝a²+b² C、（﹣3ab² ）²＝6a²b⁴ D、a²•a⁴＝a⁶

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2. 下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 一个几何体的俯视图如图所示，其中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么这个几何体的主视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + (k - 3) x + 1 - k = 0$ 根的情况，下列说法正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定

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5. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ．给出下列结论：

① $a c < 0$ ； ② $b^{2} - 4 a c > 0$ ； ③ $2 a - b = 0$ ； ④ $a - b + c = 0$ ．

其中，正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，在平面直角坐标系中， $R t Δ A B C$ 的顶点A、C的坐标分别是 $(0 ， 3) 、 (3 ， 0)$ ， $∠ A C B = 90^{0}$ ， $A C = 2 B C$ ，则函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象经过点B，则k的值为（　　）

A、 $\frac{9}{2}$ B、9 C、 $\frac{27}{8}$ D、 $\frac{27}{4}$

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7. 若分式方程 $\frac{1}{x - 2} = \frac{a x - 3}{{(2 - x)}^{2}}$ 无解，则实数a的值为（）

A、1 B、1或 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、1或2

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8.
如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（　　）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、8 C、 $4 \sqrt{3}$ D、6

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9. 王老师的数学课采用小组合作学习方式，把班上40名学生分成若干小组，如果要求每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（　　）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S_△FGC= $\frac{72}{5}$ .其中正确结论的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下，9899万农村贫困人口全部脱贫.用科学记数法表示数据“9899万”：.

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12. 函数 $y = \frac{\sqrt{x}}{4 x + 1}$ 的自变量x的取值范围是．

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13. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，请你添加一个条件，使四边形AECF是菱形．

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14. 在﹣2，0，1，2这四个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）²＋n的顶点在坐标轴上的概率为．

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15. 若关于x的不等式3x＋1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是．

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16. 一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为米．

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17. 如图，正方形ABCD的边长为8，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是．

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18. 已知在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°} ， B C = 3 c m ， A C = 4 c m$ ，点 $M ， N$ 分别在边 $A C 、 A B$ 上，将 $Δ A B C$ 沿直线 $M N$ 对折后，点 $A$ 正好落在对边 $B C$ 上，且折痕 $M N$ 截 $Δ A B C$ 所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与 $Δ A B C$ 相似，则折折痕 $M N =$ $c m$

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19. 如图，过点 $A_{1} (1 ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $y = 2 x$ 于点 $B_{1}$ ；点 $A_{2}$ 与点 $O$ 关于直线 $A_{1} B_{1}$ 对称；过点 $A_{2} (2 ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $y = 2 x$ 于点 $B_{2}$ ；点 $A_{3}$ 与点 $O$ 关于直线 $A_{2} B_{2}$ 对称；过点 $A_{3} (4 ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $y = 2 x$ 于点 $B_{3}$ 按此规律作下去，则 $B_{2021}$ 的坐标为．

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20. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．若 $\frac{A D}{A B} = \frac{2}{3}$ ， $A C = 2 \sqrt{6}$ ，则CD的长为．

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三、解答题

21. 化简求值： $(\frac{2 x - 1}{x + 1} - x + 1) \div \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = 2 \cos 60 °$ ．

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22. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中，已知格点三角形ABC(顶点为网格线的交点)．

( 1 )将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB₁C₁(点B，C的对应点分别为点B₁ ， C₁)，画出△AB₁C₁；

( 2 )将△ABC平移，使得点A与点C₁重合，得到△A₂B₂C₂(点A，B，C的对应点分别为点A₂ ， B₂ ， C₂ ，画出△A₂B₂C₂)并说明平移过程；

( 3 )填空：sin∠B₁C₁B₂= ．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 交x轴于点A（－3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值.

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24. 为了增强学生的疫情防控意识，响应“停课不停学”号召，某学校组织了一次疫情防控知识专题网上学习．并进行了一次全校2500名学生都参加的网上测试，阅卷后，教务处随机抽取收了100份答卷进行分析统计，发现考试成绩（x分）的最低分为51分，最高分为满分100分，井绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：

分数段（分）	频数（人）	频率
51≤x＜61	10	0.1
61≤x＜71	18	0.18
71≤x＜81	a	n
81≤x＜91	35	0.35
91≤x＜101	12	0.12
合计	100	1

(1)、填空：a＝， n＝；

(2)、将频数分布直方图补充完整；

(3)、在绘制扇形统计图中，81≤x＜91这一分数段所占的圆心角度数为°；

(4)、该校对成绩为91≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．

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25. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，图中的折线表示两车之间距离 $y (km)$ 与慢车行驶时间 $x (h)$ 之间的函数关系图象，请根据图象提供的信息回答：

(1)、快车的速度是 $km/h$ ．

(2)、求线段BC所表示的函数关系式．

(3)、若在第一列快车与慢车相遇时，第二列快车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同，直接写出第二列快车出发多长时间与慢车相距 $200 km$ ．

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26. 在菱形 $A B C D$ 中，射线 $B M$ 从对角线 $B D$ 所在的位置开始绕着点 $B$ 逆时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，点 $E$ 在射线 $B M$ 上， $∠ D E B = ∠ D A B$ ．

(1)、当 $∠ D A B = 60 °$ 时， $B M$ 旋转到图①的位置，线段 $B E$ ， $D E$ ， $A E$ 之间的数量关系是；

(2)、在（1）的基础上，当 $B M$ 旋转到图②的位置时，探究线段 $B E$ ， $D E$ ， $A E$ 之间的数量关系，并证明；

(3)、将图②中的 $∠ D A B = 60 °$ 改为 $∠ D A B = 90 °$ ，如图③，其他条件不变，请直接写出线段 $B E$ ， $D E$ ， $A E$ 之间的数量关系．

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27. 某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元，

(1)、求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；

(2)、该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

(3)、实际进货时，厂家对A型据题意得，y＝200x＋250（80−x），即y＝−50x＋20000，
根据不等关系得：80−x≤2x，解得x≥26 $\frac{2}{3}$ ，
∴ $26 \frac{2}{3} \leq x < 80$ ，
∵y＝−50x＋20000，−50＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵x为正整数，
∴当x＝27时，y取最大值，则80−x＝53，
即商店购进27台A型电脑和53台B型电脑的销售利润最大；电脑出厂价下调 $m (0 < m < 100)$ 元，且限定商店销售B型电脑的利润不低于10000元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这80台电脑销售总利润最大的进货方案，直接写出进货方案即可．

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28. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝ $\frac{2}{3}$ x＋4交x轴于点A，交y轴于点B．直线CD：y＝－ $\frac{1}{3}$ x－1与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D．

(1)、直接写出点B和点D的坐标；

(2)、若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系；

(3)、当S＝20时，平面直角坐标系内是否存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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