上海市静安区2020-2021学年九年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-04 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $1^{- 1} = - 1$ B、 $1^{0} = 0$ C、 $- 1^{- 1} = 1$ D、 ${(- 1)}^{0} = 1$

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2. 如果关于x的方程 $x^{2} - 6 x + m = 0$ 有实数根，那么m的取值范围是（）

A、 $m > 9$ B、 $m \geq 9$ C、 $m \leq 9$ D、 $m < 9$

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3. 一次函数 $y = 3 x - 2$ 的图像不经过的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 对于等边三角形，下列说法正确的为（）

A、既是中心对称图形，又是轴对称图形 B、是轴对称图形，但不是中心对称图形 C、是中心对称图形，但不是轴对称图形 D、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形

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5. 某厂对一个班组生产的零件进行调查，该组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，0，2，2，3，0，3，那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（）

A、2.5与1.5 B、2与1.5 C、2.5与 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、2与 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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6. 对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（）

A、①是真命题，②是假命题 B、①是假命题，②是真命题 C、①、②都是真命题 D、①、②都是假命题

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二、填空题

7. 化简： $| \sqrt{3} - 2 |$ = ．

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8. 计算： $x \div (x^{2} - x) =$ ．

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9. 函数 $f (x) = \frac{x - 1}{3 - 2 x}$ 的定义域为．

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10. 如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y随x的增大而．

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11. 方程组 ${\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} = 3 \\ x - y = 1 \end{array}$ 的解为．

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12. 从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是．

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13. 为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，如图所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），由此可以估计该校九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及以上的人数约为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边 $A B$ 上， $∠ A C D = ∠ B$ ， $A D = 2$ ， $A C = \sqrt{6}$ ，设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{C D} =$ ．（用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的式子表示）．

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15. 已知⊙ $O_{1}$ 与⊙ $O_{2}$ 两圆内含， $O_{1} O_{2} = 3$ ， ⊙ $O_{1}$ 的半径为5，那么⊙ $O_{2}$ 的半径r的取值范围是．

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16. 如图，已知在梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B = C D$ ，矩形 $D E F G$ 的顶点E，F，G分别在边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 上，如果 $D E = 5$ ， $t a n C = \frac{5}{2}$ ，那么 $A E$ 的长为．

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17. 已知矩形纸片 $A B C D$ 的边 $A B = 10$ ， $B C = 12$ （如图），将它折叠后，点 $D$ 落在边 $A B$ 的中点处，那么折痕的长为．

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18. 在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的n倍（n为整数），那么我们称这个三角形为n倍三角形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $\frac{x + 2}{x^{2} - x} - \frac{x - 1}{x^{2} + x} - \frac{4}{x^{2} - 1}$ ．其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．

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20. 已知点 $A (2, m + 3)$ 在双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 上．

(1)、求此双曲线的表达式与点A的坐标；

(2)、如果点 $B (a, 5 - a)$ 在此双曲线上，图像经过点A、B的一次函数的函数值y随x的增大而增大，求此一次函数的解析式．

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21. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A E ⊥ B C$ ，垂足为E． $D C ⊥ B C$ ， $D C = B C = 2$ ， $∠ A D B = 90 °$ ， $B D$ 与 $A E$ 、 $A C$ 分别相交于点F、G．求：

(1)、 $A F$ 的长；

(2)、 $A G$ 的长．

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22. 小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发部比甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品，且比从甲批发部购进数量多了40件．问：乙批发部的这种商品每件几元？

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23. 已知：如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $∠ B = 90 °$ ，E是 $A C$ 的中点， $D E$ 的延长线交边 $B C$ 于点F．

(1)、求证：四边形 $A F C D$ 是平行四边形；

(2)、如果 $2 A E^{2} = A D \cdot B C$ ，求证四边形 $A F C D$ 是菱形．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A的坐标为 $(5 ， 0)$ ，经过点A的抛物线 $y = x^{2} + b x + 5$ 与y轴相交于点B，顶点为C．

(1)、求 $∠ A B C$ 的正弦值；

(2)、将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且 $△ D C A$ 与 $△ A B C$ 相似，求平移后的新抛物线的表达式．

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25. 如果，已知半圆O的直径 $A B = 4$ ，点P在线段 $O A$ 上，半圆P与半圆O相切于点A，点C在半圆P上， $C O ⊥ A B$ ， $A C$ 的延长线与半圆O相交于点D， $O D$ 与 $B C$ 相交于点E．

(1)、求证： $A D \cdot A P = O D \cdot A C$ ；

(2)、设半圆P的半径为x，线段 $C D$ 的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；

(3)、当点E在半圆P上时，求半圆P的半径．

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