湘教版初中数学八年级下册第一单元直角三角形单元测试

试卷更新日期：2022-03-04 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 到三角形三边距离相等的点是（　　）

A、三边垂直平分线的交点 B、三条高所在直线的交点 C、三条角平分线的交点 D、三条中线的交点

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2. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，如果 $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，那么 $A C$ 的长是（）．

A、10 B、 $2 \sqrt{7}$ C、10或 $2 \sqrt{7}$ D、7

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3. 如图．AB=AC，BD=1，BD⊥AD，则数轴上点C所表示的数为（）

A、 $\sqrt{5}$ +1 B、- $\sqrt{5}$ -1 C、- $\sqrt{5}$ +1 D、 $\sqrt{5}$ -1

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4. 如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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5. 如图，以 $R t △ A B C$ 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 $A B = \sqrt{3}$ ，则图中阴影部分的面积为（　　）

A、3 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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6. 在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = B C = 2$ ， $A C = a$ .下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根；④ $3 < a < 4$ .其中，所有正确的说法的序号是（）

A、①②④ B、②③④ C、①②③ D、①③④

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7. 下列语句中是命题的有（）
①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②作点A关于直线l的对称点A＇； ③三边对应相等的两个三角形全等吗？④角平分线上的点到角两边的距离相等．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，点D是AB边上的中点，下列成立的有（）
①∠A+∠B=90° ②AC²+BC²=AB² ③2CD=AB ④∠B= 30°

A、①②④ B、①③ C、②④ D、①②③

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9. 已知等边△ABC的边长为12， D是边AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（）

A、3 B、4 C、8 D、9

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（）

A、44 B、43 C、42 D、41

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11. 下列命题是真命题的是（ )

A、同旁内角互补 B、任意一个等腰三角形一定是钝角三角形 C、两边及一角对应相等的两个三角形全等 D、角平分线上的点到角两边的距离相等

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12. 如图，长方形OABC中，点A在y轴上，点C在x轴上． $O A = B C = 4$ ， $A B = O C = 8$ ．点D在边AB上，点E在边OC上，将长方形沿直线DE折叠，使点B与点O重合．则点D的坐标为（）

A、 $(4 ， 4)$ B、 $(5 ， 4)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(6 ， 4)$

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二、填空题

13. 直角三角形的两条边长分别为3cm、4cm，则这个直角三角形的斜边长为cm.

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14. 如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，BD是角平分线，BD=5，BC=4，则D点到AB的距离是。

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ， $B D = 2 C D$ ，点D到 $A B$ 的距离为5.6，则 $B C =$ $cm$ .

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16. 如图，等腰△BAC中，∠BAC＝120°，BC＝6，P为射线BA上的动点，M为BC上一动点，则PM+CP的最小值为．

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17. 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝.

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18. 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度数为， CE的长为 .

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19. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE分别交边AB、AC于点D、E、P为直线DE上一点．若BC＝2，则△BCP周长的最小值为．

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20. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $A B = 15$ ， $B C = 9$ ， $A C = 12$ ，则 $B D$ 的长为．

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21. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是．

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22. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是

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三、作图题

23. 作图题：（保留作图痕迹，不必写作法）
如图，已知△ABC中，AB＝2AC，作一条射线AD交线段BC于点D，使△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．

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24. 如图，已知线段 $a$ ， $h$ .

(1)、尺规作图：作等腰 $Δ A B C$ ，使底边 $B C$ 长为 $a$ ， $B C$ 上的高为 $h$ .

(2)、若 $a = 10$ ， $h = 12$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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四、解答题

25. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为E，F，且 $B E = C F$ ， $∠ B D E = 30^{o}$ ，求证： $△ A B C$ 是等边三角形.

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26. 滑撑杆在悬窗中应用广泛.如图，某款滑撑杆由滑道 $O C$ ，撑杆 $A B$ 、 $B C$ 组成，滑道 $O C$ 固定在窗台上.悬窗关闭或打开过程中，撑杆 $A B$ 、 $B C$ 的长度始终保持不变.当悬窗关闭时，如图①，此时点A与点O重合，撑杆 $A B$ 、 $B C$ 恰与滑道 $O C$ 完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆 $A B$ 与撑杆 $B C$ 恰成直角，即 $∠ B = 90 °$ ，测量得 $O A = 12 cm$ ，撑杆 $A B = 15 cm$ ，求滑道 $O C$ 的长度.

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27. 如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝ $\sqrt{5}$ ， BD＝2．求线段DF的长度．

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五、综合题

28. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = C B$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，F为 $A B$ 延长线上一点，点E在 $B C$ 上，且 $A E = C F$ ．

(1)、求证： $R t △ A B E ≌ R t △ C B F$ ；

(2)、若 $∠ C A E = 25 °$ ，求 $∠ C F A$ 的度数．

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29. 如图所示， $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ， $C O ⊥ A B$ 于点 $O$ ， $A O = 4$ ， $B O = 6$ ．

(1)、求 $B C$ ， $A C$ 的长．

(2)、若点 $D$ 是射线 $O B$ 上的一个动点，作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，连结 $O E$ ．
①当点 $D$ 在线段 $O B$ 上时，若 $△ A O E$ 是以 $A O$ 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 $O D$ 的长．

②设 $D E$ 交直线 $B C$ 于点 $F$ ，连结 $O F$ ， $C D$ ，若 $S_{△ O B F} ： S_{△ O C F} = 1 ： 4$ ，则 $C D$ 的长为多少？（直接写出结果）．

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30.

(1)、阅读理解：问题：如图1，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ A + ∠ C = 180 °$ .求证： $D A = D C$ .
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在 $B C$ 上截取 $B M = B A$ ，连接 $D M$ ，得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长 $B A$ 到点N，使得 $B N = B C$ ，连接 $D N$ ，得到全等三角形，进而解决问题.

结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.

(2)、问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 $A C$ ，当 $∠ D A C = 60 °$ 时，探究线段 $A B$ ， $B C$ ， $B D$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、问题拓展：如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A + ∠ C = 180 °$ ， $D A = D C$ ，过点D作 $D E ⊥ B C$ ，垂足为点E，请直接写出线段 $A B$ 、 $C E$ 、 $B C$ 之间的数量关系.

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