初中数学北师大版八年级下册第五章分式与分式方程全章测试

试卷更新日期：2022-03-02 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 要使分式 $\frac{2 x + 1}{2 x - 1}$ 无意义的x的值是（）

A、 $x = \frac{1}{2}$ ； B、 $x = - \frac{1}{2}$ ； C、 $x \neq - \frac{1}{2}$ ； D、 $x \neq \frac{1}{2}$ ；

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2. 下列各式从左到右变形正确的是（）

A、 $\frac{3 x^{2}}{6 x} = \frac{x}{2}$ B、 $\frac{n}{m} = \frac{n + 1}{m + 1}$ C、 $\frac{n}{m} - \frac{m}{n} = \frac{n - m}{m n}$ D、 $\frac{n}{m} = \frac{n^{2}}{m^{2}}$

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3. 若代数式 $\frac{x^{2}}{x - 1} ◯ \frac{x}{x - 1} (x \neq 0)$ 运算结果为x，则在“○”处的运算符号应该是（）

A、除号“÷” B、除号“÷”或减号“-” C、减号“-” D、乘号“×”或减号“-”

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4. 化简 $\frac{x}{2} \div \frac{x - y}{2 x} - \frac{y^{2}}{x - y}$ ，正确结果是（）

A、 $\frac{1 - y^{2}}{x - y}$ B、 $x - y$ C、 $x + y$ D、 $2 x - 2 y$

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5. 某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务。设乙车间每天生产x个玩具，可列方程为（）

A、 $\frac{400}{x - 10}$ = $\frac{500}{x}$ B、 $\frac{400}{x + 10}$ = $\frac{500}{x}$ C、 $\frac{400}{x}$ = $\frac{500}{x + 10}$ D、 $\frac{400}{x}$ = $\frac{500}{x - 10}$

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6. 如图1，设 $k = \frac{甲图中阴影部分面积}{乙图中阴影部分面积} (a > b > 0)$ ，则有（）.

A、0<k< $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ <k<1 C、1<k<2 D、k>2

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7. 商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（）

A、50元/千克 B、60元/千克 C、70元/千克 D、80元/千克

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8. 如果关于x的分式方程 $\frac{x - a}{x - 2}$ ＝1+ $\frac{5 - 2 x}{x - 2}$ 有正整数解，且关于y的一元一次不等式组 ${\begin{cases} \frac{3 y - 3}{4} > y - 2 \\ y - a \leq 0 \end{cases}$ 的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（）

A、8 B、7 C、3 D、2

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二、填空题

9. 计算： $\frac{x^{2}}{x - 2} + \frac{4}{2 - x} =$ .

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10. 若分式 $\frac{| x - 2 | - 1}{x^{2} - 6 x + 9}$ 的值为0，则x﹣2的值为．

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11. 已知 $3^{8 n} = 2$ ，则 $9^{- n + 1} \cdot 27^{- 2 n}$ 的值等于.

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12. 已知m﹣n＝2，则 $\frac{3 m n}{{(m + n)}^{2} - 4 m n} • (\frac{1}{m} - \frac{1}{n})$ 的值为．

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13. 关于x的方程 $\frac{x}{x - 3} = 2 + \frac{k}{x - 3}$ 化为整式方程后，会产生增根，则k的值为.

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14. 若 $\frac{2}{2 y^{2} + 3 y + 7}$ 的值为 $\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{1}{4 y^{2} + 6 y - 1}$ 的值为．

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15. 如果 $\frac{1}{(2 a - 1) (2 a + 1)} = \frac{m}{2 a - 1} + \frac{n}{2 a + 1}$ 对于自然数 $a \neq \frac{1}{2}$ 成立，则 $m =$ ， $n =$ ．

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16. 下列一组方程：① $x + \frac{2}{x} = 3$ ，② $x + \frac{6}{x} = 5$ ，③ $x + \frac{12}{x} = 7$ ，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 2$ ；第②个方程的解为 $x_{1} = 2 ， x_{2} = 3$ ；第③个方程的解为 $x_{1} = 3 ， x_{2} = 4$ .若n为正整数，且关于x的方程 $x + \frac{n^{2} + n}{x + 3} = 2 n - 2$ 的一个解是 $x = 7$ ，则n的值等于.

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三、计算题

17.

(1)、计算：( $\frac{3}{2}$ )^-1×（-3）²- $\sqrt{25}$ +2⁰.

(2)、化简： $\frac{2 a}{a + 1}$ - $\frac{a + 2}{a^{2} - 1}$ ÷ $\frac{a + 2}{a^{2} - 2 a + 1}$

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18. 解分式方程：

(1)、 $\frac{1}{x} = \frac{5}{x + 3}$ ；

(2)、 $\frac{x}{x + 1} - 1 = \frac{3}{(x + 1) (x - 2)}$

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四、解答题

19. 已知 $a^{2} + 2 a - 1 = 0$ ，求代数式 $(\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a + 1} - \frac{1}{1 - a}) \div \frac{1}{a^{2} - a}$ 的值．

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20. 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.
$(\frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1} + 1) \div \frac{a}{a + 1}$

$= [\frac{(a + 1) (a - 1)}{{(a + 1)}^{2}} + 1] \div \frac{a}{a + 1}$ …第一步

$= (\frac{a - 1}{a + 1} + 1) \div \frac{a}{a + 1}$ …第二步

$= \frac{a - 1 + 1}{a + 1} \div \frac{a}{a + 1}$ …第三步

$= \frac{a}{a + 1} \div \frac{a}{a + 1}$ …第四步

$= \frac{a}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a}$ …第五步

$= 1$ …第六步

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第一步进行的运算是（）
A、整式乘法
B、因式分解

②第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ；

任务二：请直接写出该分式化简的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请根据平时的经验，就分式的化简过程写出一条注意事项.

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五、综合题

21. 根据材料完成问题：
在含有两个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，式子的值始终保持不变，像这样的式子我们称之为对称式，如： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ， $a^{2} + b^{2}$ ，请解决下列问题：

(1)、① $a^{2} - b^{2}$ ；② $a^{2} b^{2}$ ③ $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ 这3个式子中只有1个属于对称式：（请填序号）；

(2)、已知 $(x - a) (x - b) = x^{2} + m x + n$
①若 $m = 1$ ， $n = - 2$ ，求对称式 $a^{2} + b^{2}$ 的值；
②若 $m = - 3$ ， $n = 1$ ，当 $\frac{a^{2} - k}{a} + \frac{b^{2} - k}{b}$ ＞0时，求 $k$ 的取值范围．

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22. 为切实做好疫情防控工作，我市某校准备在民联药店购买口罩和医用酒精发给每个学生.已知每盒口罩有100只，每盒医用酒精有10瓶，每盒口罩价格比每盒医用酒精价格多30元，用2400元购买口罩所得盒数与用1500元购买医用酒精所得盒数相同.

(1)、每盒口罩和每盒医用酒精的价格各是多少元？

(2)、如果给每位学生发放5只口罩和1瓶医用酒精，且口罩和医用酒精均需整合购买.设购买口罩 $m$ 盒（ $m$ 为正整数），则购买医用酒精多少盒能与口罩刚好配套？请用含 $m$ 的代数式表示.

(3)、在民联药店累计购买医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠.该校按（2）中的配套方案购买，共支付 $w$ 元，求 $w$ 关于 $m$ 的函数关系式.若该校九年级有1200名学生，需要购买口罩和医用酒精各多少盒？所需总费用为多少元？

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23. 有这样一段叙述：“要比较 $a$ 与 $b$ 的大小，可以先求出 $a$ 与 $b$ 的差，再看这个差是正数、负数还是0”．由此可见，要比较两个代数式的值的大小，只要考查它们的差即可．
问题：甲、乙两人两次同时去同一个商店购买水果（假设两次购水果的单价不同，分别为 $x$ 元， $y$ 元， $x \neq y$ ），甲每次购水果20千克，乙每次购水果用去20元．

(1)、用含 $x$ ， $y$ 的代数式表示：甲两次购水果共付元；乙两次共购千克水果；甲两次购水果的平均单价为元/千克，乙两次购水果的平均单价为元/千克；

(2)、现规定：谁购水果的平均单价低，谁购水果的方式就合算，请你判断甲、乙两人的购水果方式哪一个更合算？并说明理由．

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24. 我们定义：如果两个分式 $A$ 与 $B$ 的差为常数，且这个常数为正数，则称 $A$ 是 $B$ 的“雅中式”，这个常数称为 $A$ 关于 $B$ 的“雅中值”．
如分式 $A = \frac{2 x}{x + 1}$ ， $B = \frac{- 2}{x + 1}$ ， $A - B = \frac{2 x}{x + 1} - \frac{- 2}{x + 1} = \frac{2 x + 2}{x + 1} = \frac{2 (x + 1)}{x + 1} = 2$ ，则 $A$ 是 $B$ 的“雅中式”， $A$ 关于 $B$ 的“雅中值”为 $2$ ．

(1)、已知分式 $C = \frac{1}{x + 2}$ ， $D = \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} + 4 x + 4}$ ，判断 $C$ 是否为 $D$ 的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出 $C$ 关于 $D$ 的“雅中值”；

(2)、已知分式 $P = \frac{E}{9 - x^{2}}$ ， $Q = \frac{2 x}{3 - x}$ ， $P$ 是 $Q$ 的“雅中式”，且 $P$ 关于 $Q$ 的“雅中值”是 $2$ ， $x$ 为整数，且“雅中式” $P$ 的值也为整数，求 $E$ 所代表的代数式及所有符合条件的 $x$ 的值之和；

(3)、已知分式 $M = \frac{(x - b) (x - c)}{x}$ ， $N = \frac{(x - a) (x - 5)}{x}$ ，（ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为整数）， $M$ 是 $N$ 的“雅中式”，且 $M$ 关于 $N$ 的“雅中值”是1，求 $a - b + c$ 的值．

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初中数学北师大版八年级下册第五章 分式与分式方程 全章测试

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二、填空题

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四、解答题

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