浙江省杭州市余杭区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2022-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ 图象的顶点坐标是（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(1 ， - 3)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(- 1 ， - 3)$

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2. 抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为5的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{6}$

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3. 若 $\frac{b}{a}$ = $\frac{3}{2}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， A D = 8$ ，若以点 $A$ 为圆心，8为半径作 $⊙ A$ ，则下列各点在 $⊙ A$ 外的是（）

A、点 $A$ B、点 $B$ C、点 $C$ D、点 $D$

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5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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6. 竖直向上发射的小球的高度 $h (m)$ 关于运动时间 $t (s)$ 的函数表达式为 $h = a t^{2} + b t$ ，其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（）

A、第3秒 B、第3.5秒 C、第4秒 D、第6秒

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 直径，若 $∠ A O C = 130 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、40° B、35° C、30° D、25°

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8. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + 3$ ，当 $x > 1$ 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（）

A、 $b \geq - 1$ B、 $b \leq - 1$ C、 $b \geq 1$ D、 $b \leq 1$

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9. 如图， $A B$ ， $C D$ 是 $⊙ O$ 的两条弦，它们相交于点P，连接 $A D$ 、 $B D$ ，已知 $A D = B D = 4$ ， $P C = 6$ ，那么 $C D$ 的长为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ // $B C$ ， $E F$ // $A B$ ，记 $S_{△ A D E} = S_{1}$ ， $S_{△ C E F} = S_{2}$ ， $S_{四边形 B D E F} = S_{3}$ ，则下列关于 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 的关系式正确的是（）

A、 $S_{3} = S_{1} + S_{2}$ B、 $S_{3} = 2 \sqrt{S_{1} S_{2}}$ C、 $S_{3} = \sqrt{S_{1} S_{2}}$ D、 $\sqrt{S_{3}} = \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}}$

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二、填空题

11. 计算： $\sin 45^{°} =$ ．

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12. 已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝．

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13. 某超市质检人员为了检测某品牌产品的质量，从同一批次共2000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品一件，由此估计这批产品中的次品件数是件.

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14. 已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是．

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15. 将二次函数 $y = x^{2}$ 的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，最终所得图象的函数表达式为.

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16. 如图， $A B$ 是半圆的直径， $B C$ 是半圆的弦， $\overset{⌢}{B C}$ 沿弦 $B C$ 折叠交直径 $A B$ 于点D.

(1)、当 $A D = B D = 5$ 时，则 $B C$ 的长为；

(2)、当 $A D = 4$ ， $B D = 6$ 时，则 $B C$ 的长为.

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三、解答题

17. 一只不透明的箱子里共有5个球，其中3个白球，2个红球，它们除颜色外均相同.

(1)、从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？

(2)、从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表法或画树状图的方式求两次摸出的球都是白球的概率.

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18. 已知二次函数 $y = a {(x + 1)}^{2} - 2$ 的图象经过点 $(- 5 ， 6)$ .

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、求二次函数的图象与y轴的交点坐标.

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19. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，且 $A B = A C$ ，P是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，且 $∠ B A C = 30 °$ .

(1)、求 $∠ A P C$ 的度数；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为6，求 $\overset{⌢}{A P C}$ 的长（结果保留 $π$ ）.

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20. 如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上， $A D ⊥ C D$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ A C D = 60 °$ ， $B C = 30$ 米.

(1)、求点C到 $A B$ 的距离；

(2)、求线段 $A D$ 的长度.

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，D，E分别是 $A B$ ， $A C$ 上的点， $∠ A E D = ∠ B$ ， $A D = 2$ ， $A C = 3$ ， $△ A B C$ 的角平分线 $A F$ 交 $D E$ 于点G，交 $B C$ 于点F.

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ A C B$ ；

(2)、求 $\frac{A G}{G F}$ 的值.

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22. 已知函数 $y = x^{2} + b x + 3 b$ （b为常数）.

(1)、若图象经过点 $(- 2 ， 4)$ ，判断图象经过点 $(2 ， 4)$ 吗？请说明理由；

(2)、设该函数图象的顶点坐标为 $(m ， n)$ ，当b的值变化时，求m与n的关系式；

(3)、若该函数图象不经过第三象限，当 $- 6 \leq x \leq 1$ 时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值.

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23. 如图，点A在y轴正半轴上， $O A = 1$ ，点B是第一象限内的一点，以 $A B$ 为直径的圆交x轴于D，C两点，D，C两点的横坐标是方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两个根， $O C > O D$ ，连接 $B C$ .

(1)、如图（1），连接 $B D$ .
①求 $∠ A B D$ 的正切值；

②求点B的坐标.

(2)、如图（2），若点E是 $\overset{⌢}{D A B}$ 的中点，作 $E F ⊥ B C$ 于点F，连接 $E B$ ， $E D$ ， $E C$ ，求证： $2 C F = B C + C D$ .

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