广西壮族自治区梧州市岑溪市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2022-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. sin60°的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$ 的最小值是（）

A、－3 B、3 C、0 D、 $1$

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3. 反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 图象的两个分支分别位于（）

A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、三象限 D、第二、四象限

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4. 在Rt△ABC中，若各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（）

A、扩大为原来的3倍 B、缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ C、不变 D、以上都不对

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5. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长比为（）

A、1∶2 B、1∶3 C、1∶4 D、1∶9

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6. 将抛物线y＝x²向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）

A、y＝x²－1 B、y＝x²＋1 C、y＝（x＋1）² D、y＝（x－1）²

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7. 若双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 过两点（－1，y₁），（－3，y₂），则下列说法正确的是（）

A、y₁＞y₂ B、y₁＜y₂ C、y₁＝y₂ D、y₁≥y₂

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8. 某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度i＝1∶ $\sqrt{3}$ ，则这个斜坡的坡角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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9. 对于抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 1$ ，下列说法中错误的是（）

A、顶点坐标为 $(1, - 2)$ B、对称轴是直线 $x = 1$ C、当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大减小 D、抛物线开口向上

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10. 如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点O，则图中相似三角形共有（　　）

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

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11. 如下图，D、E分别是△ABC边的AB、AC上的点，DE∥BC，且S△ADE︰S△ABC＝1︰9，那么AD∶BD的值为（）

A、1︰9 B、1︰3 C、1︰8 D、1︰2

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12. 如图，给出了二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象，对于这个函数有下列五个结论：① $b^{2} - 4 a c$ ＜0；②ab＞0；③ $a - b + c = 0$ ；④ $4 a + b = 0$ ；⑤当y＝2时，x只能等于0.其中结论正确的是（）

A、①④ B、③⑤ C、②⑤ D、③④

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二、填空题

13. 已知4a＝3b，则 $\frac{a}{b}$ ＝．

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14. 若点（2，3）在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0）的图象上，则k＝.

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15. 若抛物线y＝x²+2x+c的顶点在x轴上，则c＝.

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16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5， $\sin B = \frac{4}{5}$ ，则AC＝.

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17. 如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为m（结果保留根号）.

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18. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为cm（结果保留根号）

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三、解答题

19. 计算：2sin30°+1；

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20. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例函数关系.已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m.

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、当近视眼镜的度数y＝300时，求近视眼镜镜片焦距x的值.

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21. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，已知△OAB在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为 O（0，0）、A（3，1）、B（2，－1）

(1)、以O为位似中心，在y轴的左侧画出△OCD，使△OCD与△OAB位似，且相似比为2∶1；

(2)、分别写出A、B的对应点C、D的坐标；

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22. 如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点.

(1)、求反比例函数的表达式与点B的坐标；

(2)、在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值小于反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0）的值时，直接写出自变量x的取值范围.

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23. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为30m.求这栋高楼的高度（结果保留根号）.

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24. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E，且∠EDB＝∠C.

(1)、求证：△ADE∽△DBE；

(2)、若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长.

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25. 某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．

(1)、当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；

(2)、当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．

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26. 如图1，抛物线y=－x²＋bx＋c经过A（－1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标.

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