浙江省温州市2021-2022学年高二上学期数学期末教学质量统一检测试卷（B卷）

试卷更新日期：2022-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x + y + 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， x ， y)$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x - y =$ （）

A、4 B、-4 C、0 D、2

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3. 下列曲线中，与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 有相同渐近线的是（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} - 4 y^{2} = 1$ C、 $4 x^{2} - y^{2} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$

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4. 已知抛物线 $C ： y = x^{2}$ ，过点 $P (1 ， 0)$ 与抛物线C有且只有一个交点的直线有（）条．

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 圆 $O_{1} ： (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 28$ 与 $O_{2} ： x^{2} + (y - 4)^{2} = 18$ 的公共弦长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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6. 已知四面体 $A B C D$ ，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则 $\vec{A F} \cdot \vec{C E} =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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7. 关于实数a，b，c，下列说法正确的是（）

A、如果 $a + c = 2 b$ ，则 $\frac{1}{a}$ ， $\frac{1}{b}$ ， $\frac{1}{c}$ 成等差数列 B、如果 $a + c = 2 b$ ，则 $2^{a}$ ， $2^{b}$ ， $2^{c}$ 成等比数列 C、如果 $a c = b^{2}$ ，则 $2^{a}$ ， $2^{b}$ ， $2^{c}$ 成等差数列 D、如果 $a c = b^{2}$ ，则 $l n a$ ， $l n b$ ， $l n c$ 成等差数列

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8. 如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路 $A A_{1}$ 或 $A A_{2}$ 运送到形状为四边形区域 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 $A A_{1}$ 运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路 $A A_{2}$ 运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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二、多选题

9. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} > 0$ ， $a_{6} a_{7} < 0$ ， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和，则下列式子一定成立的有（）

A、 $d < 0$ B、 $a_{6} > 0$ C、 $a_{12} < 0$ D、 $S_{13} > 0$

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10. 在同一直角坐标系中，直线 $y = a x + a^{2}$ 与圆 $(x + a)^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的位置可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (c ， 0)$ ，上顶点为 $A (0 ， b)$ ，直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 上存在点P使得AP的中垂线过点F，则椭圆C的离心率可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的选手）进行奖励，要求第k名比第 $k + 1$ 名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（）智慧币．

A、300 B、293 C、93 D、89

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三、填空题

13. 已知直线 $l_{1} ： 2 a x + y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x + a y - 3 = 0$ 平行，则实数 $a =$ ．

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14. 写出同时满足以下三个条件的数列 ${a_{n}}$ 的一个通项公式 $a_{n} =$ ．
① ${a_{n}}$ 不是等差数列，② ${a_{n}^{2}}$ 是等比数列，③ ${a_{n}}$ 是递增数列．

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15. 如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的 $\frac{1}{3}$ ，若已知小球经过的路程为 $\frac{530}{27} m$ ，则小球落地的次数为．

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16. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为BC的中点，点P在线段 $D_{1} E$ 上，分别记四棱锥 $P - A B C D$ ， $P - A A_{1} D_{1} D$ 的体积为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ，则 $V_{1}^{2} + V_{2}^{2}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 如图，已知圆C与y轴相切于点 $(0 ， 1)$ ，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2．

(1)、求圆C的方程；

(2)、已知点 $P (3 ， 2)$ ，是否存在弦 $A B$ 被点P平分？若存在，求直线 $A B$ 的方程；若不存在，请说明理由．

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18. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形，且面 $A B C ⊥$ 面 $B C D$ ， $C D ⊥ B C$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ A B$ ；

(2)、当 $A D$ 与平面BCD所成角为45°时，求二面角 $C - A D - B$ 的余弦值．

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 过点 $A (1 ， 2)$ ， O为坐标原点．

(1)、求焦点 $F$ 的坐标及其准线方程；

(2)、抛物线C在点A处的切线记为l，过点A作与切线l垂直的直线，与抛物线C的另一个交点记为B，求 $△ O A B$ 的面积．

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 2$ ， $b_{3} = a_{7}$ ， $T_{3} = S_{4}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ；

(2)、已知 $P_{n} = \frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n}}$ ， $Q_{n} = \frac{2}{a_{1} a_{2}} + \frac{2}{a_{2} a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，试比较 $P_{n}$ ， $Q_{n}$ 的大小．

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21. 一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比．

(1)、分别求2分钟，3分钟后的水温；

(2)、记n分钟后的水温为 $a_{n} (n \in N^{*})$ ，证明： ${a_{n} - 25}$ 是等比数列，并求出 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据： $l g 2 \approx 0.3$ ）

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22. 已知 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为2，F为右焦点．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有 $∠ O M A = ∠ O M B$ ，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由．

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