浙江省绍兴市上虞区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30º B、60º C、120º D、150º

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2} + 12} + \frac{y^{2}}{m^{2} + 4} = 1$ 焦距为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、8 C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ 时，第一步需要验证的不等式是（）

A、 $1 + \frac{1}{2} < 2$ B、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 2$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 3$ D、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} < 3$

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4. 我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要依照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第5个孩子分到棉花为（）

A、133斤 B、116斤 C、99斤 D、65斤

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5. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A B = \sqrt{2} B B_{1} = 2$ ，则C到直线 $A B_{1}$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{3}$

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6. 对任意实数k，直线 $(3 k + 2) x - k y - 2 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 3 = 0$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、与k有关

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7. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若 $| A F | = \frac{1}{2} | F B |$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或 $\sqrt{3}$ B、2或 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ 或 $2 \sqrt{3}$ D、2或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8. 如图，D是正方体的一个“直角尖”O-ABC（OA，OB，OC两两垂直且相等）棱OB的中点，P是BC中点，Q是AD上的一个动点，连PQ，则当AC与PQ所成角为最小时， $A Q ： Q D =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、直线 $x s i n θ + y + 2 = 0 (θ \in R)$ 的倾斜角范围是 $[0 ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{3}{4} π ， π)$ B、若直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直，则 $a = 1$ C、过两点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 的直线方程为 $(y - y_{1}) (x_{2} - x_{1}) = (x - x_{1}) (y_{2} - y_{1})$ D、经过点 $(1 ， 1)$ 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

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10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）

A、 ${(\overset{⇀}{A_{A}} + \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D})}^{2} = 2 {(\overset{⇀}{A C})}^{2}$ B、 $\overset{⇀}{A C_{1}} \cdot (\overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A D}) = 0$ C、向量 $\overset{⇀}{B_{1} C}$ 与 $\overset{⇀}{A A_{1}}$ 的夹角是60° D、 $B D_{1}$ 与AC所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，若 $\frac{a_{11}}{a_{10}} < - 1$ ，且数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 有最大值，则下列结论正确的有（）

A、 ${a_{n}}$ 中的最大值为 $a_{10}$ B、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{10}$ C、 $S_{19} > 0$ D、 $S_{20} < 0$

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12. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上有两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ､ $B (x_{2} ， y_{2})$ ，焦点为F，下列选项中是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件的是（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - \frac{3}{4} p^{2}$ B、 $y_{1} y_{2} = - p^{2}$ C、 $x_{1} x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{| F A |} + \frac{1}{| F B |} = \frac{2}{p}$

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三、填空题

13. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 $30 π$ ，则该圆锥的侧面积为.

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 2^{n} + r$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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15. 在空间直角坐标系中，经过 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 且法向量 $\vec{m} = (a ， b ， c)$ 的平面方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0})$ $+ c (z - z_{0}) = 0$ ，经过 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 且方向向量 $\vec{n} = (A ， B ， C)$ 的直线方程为 $\frac{x - x_{0}}{A} = \frac{y - y_{0}}{B} = \frac{z - z_{0}}{C}$ 阅读上面材料，并解决下列问题：给出平面 $α$ 的方程 $3 x + y - z - 5 = 0$ ，经过点 $P (0 ， 0 ， 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $x = \frac{y}{2} = - z$ ，则直线l与平面 $α$ 所成角的余弦值为.

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16. 如图，在等腰直角△ABC中， $A B = A C = 2$ ，点P是边AB上异于A､B的一点，光线从点P出发，经BC､CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的内心，则 $A P =$ .

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四、解答题

17. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.
①与直线 $2 x + 3 y - 5 = 0$ 平行；②与直线 $3 x - 2 y + 5 = 0$ 垂直；③直线l的一个方向向量为 $\vec{a} = (- 2 ， 3)$ ；
已知直线l过点 $P (1 ， - 2)$ ，且____.

(1)、求直线l的一般方程；

(2)、若直线l与圆C： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于M，N两点，求弦长 $| M N |$ .

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18. 正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为2，侧棱长为4.E为棱 $A A_{1}$ 上的动点，F为棱 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E C_{1} ⊥ B D$ ；

(2)、若E为棱 $A A_{1}$ 上的中点，求直线BE到平面 $B_{1} D_{1} F$ 的距离.

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19. 在直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的圆与直线 $x + \sqrt{3} y = 4$ 相切.

(1)、求圆O的方程；

(2)、设圆O交x轴于A，B两点，点P在圆O内，且 $| P O |$ 是 $| P A |$ ､ $| P B |$ 的等比中项，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围.

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20. 某公司从2020年初起生产某种高科技产品，初始投入资金为1000万元，到年底资金增长50%.预计以后每年资金增长率与第一年相同，但每年年底公司要扣除消费资金x万元，余下资金再投入下一年的生产.设第n年年底扣除消费资金后的剩余资金为 $a_{n}$ 万元.

(1)、用x表示 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，并写出 $a_{n + 1}$ 与 $a_{n}$ 的关系式；.

(2)、若企业希望经过5年后，使企业剩余资金达3000万元，试确定每年年底扣除的消费资金x的值（精确到万元）.

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21. 如图，在四棱锥P-ABCD中， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A D ⊥ A B$ ， $A B ∥ C D$ ，且 $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点E为棱PC的动点.

(1)、当点E是棱PC的中点时，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(2)、若E为棱PC上任一点，满足 $B E ⊥ A C$ ，求二面角P-AB-E的余弦值.

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22. 已知点 $(\sqrt{3} ， 1)$ 是椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 一点，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求此椭圆E方程；

(2)、设椭圆的左顶点为A，过点A向上作一射线交椭圆E于点B，以AB为边作矩形ABCD，使得对边CD经过椭圆中心O.
（i）求矩形ABCD面积的最大值；
（ii）问：矩形ABCD能否为正方形？若能，求出直线AB的方程；若不能，请说明理由.

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