浙江省绍兴市柯桥区2021-2022学年高二上学期数学期末教学质量调测试卷

试卷更新日期：2022-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线方程为 $x + \sqrt{3} y + 7 = 0$ ，则其倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 已知两个向量 $\vec{a} = (2 ， 1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (s ， 2 ， t)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $s - t$ 的值为（）

A、-2 B、2 C、10 D、-10

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ ，其渐近线方程为 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ ，则a的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、2

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4. 已知抛物线 $y = x^{2}$ ，则其焦点到准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、4

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $S_{n}$ 为其前n项的和，则 $S_{10} =$ （）

A、 $3^{10}$ B、 $3^{10} - 1$ C、 $3^{9} - 1$ D、 $3^{9}$

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6. 数列 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和．若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $S_{n} ⩽ S_{4}$ ，则 $\frac{a_{6} + a_{7}}{a_{5} + a_{6}}$ 的值不可能是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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7. 空间直角坐标系中 $A (0 ， 0 ， 0)$ 、 $B (1 ， 1 ， 1)$ 、 $C (1 ， 0 ， 0)$ ）、 $D (- 1 ， 2 ， 1)$ ，其中 $A \in α$ ， $B \in α$ ， $C \in β$ ， $D \in β$ ，已知平面 $α //$ 平面 $β$ ，则平面 $α$ 与平面 $β$ 间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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8. 当实数 $θ$ ，m变化时， $\frac{| \cos θ - m \cdot \sin θ - 3 - 4 m |}{\sqrt{m^{2} + 1}}$ 的最大值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、多选题

9. 已知曲线 $C ： a x^{2} + b y^{2} = 1$ ，则（）

A、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则曲线C表示椭圆 B、若 $a b < 0$ ，则曲线C表示双曲线 C、若 $a + 2 b = 0$ ， $b \neq 0$ ，则曲线C表示双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、若 $a - 2 b = 0$ ， $b > 0$ ，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 是各项为正的等比数列， $S_{n}$ 为其前n项和．数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \lg a_{n}$ ，其前n项和为 $T_{n}$ ．则（）

A、数列 ${S_{n + 2} - S_{n}}$ 一定为等比数列 B、数列 ${a_{2 n} + a_{n}}$ 一定为等比数列 C、数列 ${b_{n}}$ 一定为等差数列 D、若 $T_{n}$ 有最大值，则必有 $a_{1} > 1$

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11. 已知斜率为k的直线l经过抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点F，且与抛物线C交 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则以下结论正确的是（）

A、若 $| M N | = 16$ ，则MN的中点到y轴的距离为6 B、对任意实数k， $y_{1} \cdot y_{2}$ 为定值 C、存在实数k，使得 $| M N | = \frac{11}{3}$ 成立 D、若 $\frac{| M F |}{| N F |} = 2$ ，则 $k = \pm 2 \sqrt{2}$

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ，点P，E分别为AB， $A A_{1}$ 的中点，点M为直线 $C D_{1}$ 上的动点，点N为直线 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，则（）

A、对任意的点N，一定存在点M，使得 $P M ⊥ D N$ B、向量 $\vec{P M}$ ， $\vec{A_{1} B}$ ， $\vec{D_{1} E}$ 共面 C、异面直线PM和 $A A_{1}$ 所成角的最小值为 $\frac{π}{4}$ D、存在点M，使得直线PM与平面 $D C C_{1} D_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$

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三、填空题

13. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 y - a = 0$ ，直线 $l ： 3 x + 4 y - 2 = 0$ 与圆C交于A，B两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $a =$ ．

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14. 已知平面 $α ⊥ β$ ，过空间一定点P作一直线l，使得直线l与平面 $α$ ， $β$ 所成的角都是30°，则这样的直线l有条．

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，点P在双曲线右支上，若线段PF的中点在以原点O为圆心， $| O F |$ 为半径的圆上，且直线PF的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则该双曲线的离心率是．

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16. 等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 42$ ， $a_{2} = 5$ ，则 $a_{n} =$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ ．

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四、解答题

17. 已知直线l过点 $P (1 ， 2)$ ，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．

(1)、若 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{25}{4}$ ，求直线l的方程；

(2)、求 $△ O A B$ 的面积的最小值．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为1的菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ，侧棱 $P A = 2$ ， $∠ P A D = ∠ P A B = 45 °$ ，M是PC的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A P} = \vec{c}$ ．

(1)、试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{B M}$ ；

(2)、求BM的长．

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19. 在柯桥古镇的开发中，为保护古桥OA，规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥，使新桥BC与河岸AB垂直，并设立一个以线段OA上一点M为圆心，与直线BC相切的圆形保护区（如图所示），且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m，经测量，点A位于点O正南方向25m， $\tan ∠ B C O = \frac{4}{3}$ ，建立如图所示直角坐标系．

(1)、求新桥BC的长度；

(2)、当OM多长时，圆形保护区的面积最小？

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2$ ，D为BC的中点，平面 $B B_{1} C_{1} C ⊥$ 平面ABC．

(1)、证明： $A D ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、已知四边形 $B B_{1} C_{1} C$ 是边长为2的菱形，且 $∠ B_{1} B C = 60 °$ ，问在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点E，使得平面EAD与平面EAC的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由．

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21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 6$ ，前5项的和为 $S_{5} = 90$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} - b_{n} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = | a_{n} - b_{n} |$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线 $l ： x = λ y + t$ 交椭圆C于A、B两点，若y轴上存在点P，使得 $△ P A B$ 是以AB为斜边的等腰直角三角形，求 $△ P A B$ 的面积的取值范围．

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