浙江省衢温“5 1”联盟2021-2022学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 4} ， B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 A $\cap$ B =（）

A、{2} B、{2，3} C、{3，4} D、{2，3，4}

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2. 直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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3. 若 $\tan θ = - 2$ 则 $\frac{\sin θ + 3 \cos θ}{\sin θ + \cos θ} =$ （）

A、−2 B、−1 C、1 D、2

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4. 已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f'(x)的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知圆 $C_{1} ： {(x - \sqrt{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = a$ ，圆 C₂ ： x²+y²－ $4 \sqrt{3}$ x－4y+7=0 ，则“ a=1 ”是“两圆内切”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知等差数列 { $a_{n}$ } 的前n 项和为 Sn ，首项 a₁ =1，若 $\forall n \in N^{*} ， S_{5} \geq S_{n}$ ，则公差 d 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{5}]$ B、 $[- \frac{1}{3} ， - \frac{1}{4}]$ C、 $[- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{5})$ D、 $(- \frac{1}{3} ， - \frac{1}{4}]$

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7. 已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，沿对角线 $A C$ 将 $△ A B C$ 折起，若二面角 $B - A C - D$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ ，则 $B$ 与 $D$ 之间距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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8. 已知双曲线 C₁的一条渐近线方程为y=kx，离心率为e₁ ，双曲线C₂的一条渐近线方程为 y= $\frac{1}{k}$ x，离心率为 e₂ ，且双曲线 C₁、C₂在第一象限交于点 (1，1) ，则 $\frac{e_{1}}{e_{2}}$ =（）

A、|k| B、 $\frac{1}{| k |}$ C、1 D、2

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9. 下列命题中正确的是（）

A、抛物线 $C ： y^{2} = - 4 x$ 的焦点坐标为 $(1 ， 0)$ ． B、抛物线 $C ： y^{2} = - 4 x$ 的准线方程为 x =−1． C、抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的图象关于 x 轴对称． D、抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的图象关于 y 轴对称．

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二、多选题

10. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（）

A、两人都中靶的概率为 0.72 B、至少一人中靶的概率为 0.88 C、至多一人中靶的概率为 0.26 D、恰好有一人脱靶的概率为 0.26

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} ， | x | \leq 2 \\ \cos (π x) + a ， | x | > 2 \end{matrix} (a \in R) ，$ 则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为周期函数． B、函数 $f (x)$ 为偶函数． C、当 $a > 0$ 时，函数有且仅有2个零点． D、若点 $P (x ， y)$ 是函数 $f (x)$ 图象上一点，则 ${(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2}$ 的最小值与 $a$ 无关．

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12. 如图，在四棱柱 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} - A B C D$ 中，底面是边长为2的正方形， $∠ A^{'} A B = ∠ A^{'} A D$ ，点 P 是直线 $A^{'} C^{'}$ 上一动点，下列说法正确的是（）

A、若棱柱 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} - A B C D$ 是直棱柱，其外接球半径为 2，则 $A A^{'} = 2 \sqrt{2}$ ． B、若棱柱 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} - A B C D$ 是直棱柱，则直线 AP 与 $A^{'} C^{'}$ 的夹角大于 $\frac{π}{4}$ ． C、无论 $∠ A^{'} A B$ 取何值，总存在点 P，使得直线 PC//平面 $A^{'} B D$ ． D、若直线 $P A ， P B ， P C$ 与平面 ABCD 所成角分别 $θ_{1} ， θ_{2} ， θ_{3}$ ，则 $\tan^{2} θ_{2} \leq \tan θ_{1} \cdot \tan θ_{3}$ ．

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三、填空题

13. i 为虚数单位，复数 $\frac{1 + 2 i}{3 - 4 i} =$ ．

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14. 已知函数 f (x) = x³－3x²+2 ，则函数 f (x) 的极大值为．

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15. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 均为非零向量，且满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{c} - \vec{a} | = | \vec{c} - \vec{b} |$ ，记向量 $\vec{c}$ 在向量 $\vec{a}$ 上投影向量为 $k \vec{a} (k \in R)$ ，则 k = ． (用数字作答)

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16. 已知数列 {an}满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2 ， a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n} - 1 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ，则 $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{2022}^{2}) - 3 \cdot (a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \dots a_{2022}) =$ ．

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四、解答题

17. 在①( $\sqrt{2}$ b－c)cos A=acosC ，②sin(B+C)= $\sqrt{2}$ －1+2sin² $\frac{A}{2}$ ， ③ $\sqrt{2}$ acosC= $\sqrt{2}$ b－c ，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知______________．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 a=2 ，且△ ABC 的面积为 2，求b+c．

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18. 浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术 7 门科目中自选 3 门参加考试．下面是某校高一 200 名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距 20 分成 7组：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，画出频率分布直方图如下图所示．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第 60 百分位数；

(3)、若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目，求小明选中“技术”的概率．

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19. 如图，在三棱锥 A-BCD 中，O 为线段 BD 中点， $△ O C D$ 是边长为 1 正三角形，且 OA⊥BC ，AB=AD．

(1)、证明：平面 ABD⊥平面 BCD；

(2)、若|OA|=1， $\vec{D E} = 2 \vec{E A}$ ，求平面 BCE 与平面 BCD 的夹角的余弦值．

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20. 已知数列 {an}满足， $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、记 $b_{n} = a_{n} + 1$ ，证明：数列 {bn } 为等比数列，并求数列 {bn}的通项公式；

(2)、记数列 {bn}前 n 项和为 Tn ，证明： $\frac{b_{2}}{T_{1} T_{2}} + \frac{b_{3}}{T_{2} T_{3}} + \dots + \frac{b_{n + 1}}{T_{n} T_{n + 1}} < \frac{1}{2}$ ．

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21. 已知椭圆 C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，右焦点为 F( $\sqrt{2}$ ，0) ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设 M，N 是椭圆 C 上不同的两点，且直线 MN 与圆 O： $x^{2} + y^{2} = \frac{4}{3}$ 相切，若 T 为弦 MN的中点，求|OT| $\cdot$ |MN|的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x + \frac{a}{x} - x$ ，且 a > 0 ．

(1)、当a =1 时，求函数 f (x ) 的单调区间；

(2)、记函数 $g (x) = f (x) + x$ ，若函数 $g (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，
①求实数 a 的取值范围；

②证明： $x_{1} + x_{2} < 2 \sqrt{1 - a}$ ．

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