浙江省宁波市九校2021-2022学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-03-02 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (x ， - 1 ， y)$ ．若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则（）

A、 $x + y = 1$ B、 $x - y = 1$ C、 $x + y = 0$ D、 $x - y = - 1$

查看试题解析
2. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = - 2 n^{2} + 9 n (n \in N^{*})$ ．若数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n}$ 取得最大值时n的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
3. 若函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
4. 已知直线 $l ： y = x + 1$ ，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ ．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（）

A、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{3}{4})$ B、 $(- \frac{3}{4} ， \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{2})$

查看试题解析
5. 若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $b_{1} + b_{4} \leq b_{2} + b_{3}$ B、 $b_{4} - b_{1} \leq b_{3} - b_{2}$ C、 $a_{1} a_{4} \geq a_{2} a_{3}$ D、 $a_{1} a_{4} \leq a_{2} a_{3}$

查看试题解析
6. 已知 $f^{'} (x)$ 是偶函数 $f (x) (x \in R)$ 的导函数， $f (1) = 1$ ．若 $x \geq 0$ 时， $3 f (x) + x f^{'} (x) > 0$ ，则使得不等式 ${(x - 2022)}^{3} f (x - 2022) > 1$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(2021 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 2021)$ C、 $(2023 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2023)$

查看试题解析
7. 若将双曲线 $C ： m x^{2} - n y^{2} = λ$ 绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间 $(0 ， + \infty)$ 上存在最小值，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

查看试题解析
8. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C$ 且 $A B ⊥ A C$ ，点E为 $A A_{1}$ 中点．若平面 $α$ 过点E，且平面 $α$ 与直线AB所成角和平面 $α$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成锐二面角的大小均为30°，则这样的平面 $α$ 有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析

二、多选题

9. 若 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为 $θ$ ，则（）

A、 $θ$ 的取值范围是 $(0 ， π)$ B、 ${\vec{O A} ， \vec{A B} ， \vec{B C}}$ 能构成空间的一个基底 C、“ $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - \vec{O B} + \vec{O C}$ ”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件 D、 $(\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$

查看试题解析
10. 在平面直角坐标系xOy中，点 $F (1 ， 0)$ ，动点M到点F的距离与到直线 $x = - 1$ 的距离相等，记M的轨迹为曲线C．若过点F的直线与曲线C交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则（）

A、 $y_{1} y_{2} = - 1$ B、 $△ O A B$ 的面积的最小值是2 C、当 $| A F | = 2 | B F |$ 时， $| A B | = \frac{9}{2}$ D、以线段OF为直径的圆与圆 $N ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 相离

查看试题解析
11. 若函数 $f (x) = (x - a) e^{x} (a \in R)$ ，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 的值域为R B、函数 $g (x) = x f (x)$ 有三个单调区间 C、方程 $f (x) + x = 0$ 有且仅有一个根 D、函数 $y = f (f (x))$ 有且仅有一个零点

查看试题解析
12. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n}^{2} + m a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ，则（）

A、当 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $m = 1$ 时， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > 3$ B、当 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $m = 1$ 时， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} > 3$ C、当 $a_{1} = 3$ ， $m = - 1$ 时， $\frac{1}{a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}} > 1$ D、当 $a_{1} = 3$ ， $m = - 1$ 时， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} = \frac{a_{n + 1} - 3}{a_{n + 1} - 2}$

查看试题解析

三、填空题

13. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……．设各层球数构成一个数列 ${a_{n}}$ ，其中 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{3} = 6$ ，则 $a_{5} =$ ．

查看试题解析
14. 已知点 $F_{1}$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若 $| P F_{1} | = 3$ ，则 $| Q F_{1} | =$ ．

查看试题解析
15. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为．

查看试题解析
16. 若函数 $f (x) = \frac{k e^{x}}{x} - 3 \ln x - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{1}{x} (k \in R)$ 恰有两个极值点，则k的取值范围是．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知过点 $A (3 ， 2)$ 的圆的圆心M在直线 $y = 3 x$ 上，且y轴被该圆截得的弦长为4．

(1)、求圆M的标准方程；

(2)、设点 $N (- 2 ， 3)$ ，若点P为x轴上一动点，求 $| P M | + | P N |$ 的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - \frac{a}{2} x + 1 (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、若对任意的 $x \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围．

查看试题解析
19. 已知正项等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{3 n} = 3 a_{n} + 4 (n \in N^{*})$ ，且 $2 a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3} + 1$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2^{n} S_{n} = a_{n} + 2$ ，求 ${b_{2 n}}$ 的前n项和．

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A B ⊥ A C$ ， $C D = 2 A D = 2$ ．

(1)、证明： $P B ⊥ A C$ ；

(2)、当PB的长为何值时，直线AB与平面PCD所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ？

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，以椭圆两个焦点与短轴的一个端点为顶点构成的三角形的面积为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点 $P (0 ， 2)$ 作直线l与椭圆C相切于点Q，且直线l斜率大于0，过线段PQ的中点R作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在y轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，试判断直线MN的斜率是否为定值；若是，请求出该定值．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) + a \sqrt{x + 1} (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} + x_{2} > e^{4} - 1$ ．

查看试题解析