浙江省宁波市慈溪市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $2 x - y + 3 = 0$ 在 $y$ 轴上的截距为（）

A、3 B、-3 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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2. 已知直线 $l$ 的一个方向向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， m)$ ，平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (- 1 ， - 2 ， 3)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、3 D、-3

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3. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点坐标是（）

A、 $(0 ， 1)$ 和 $(0 ， - 1)$ B、 $(1 ， 0)$ 和 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， \sqrt{7})$ 和 $(0 ， - \sqrt{7})$ D、 $(\sqrt{7} ， 0)$ 和 $(- \sqrt{7} ， 0)$

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4. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n} = n^{2} (n \geq 2)$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、9 B、3 C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{4}{9}$

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5. 如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线 $x^{2} = - 8 y$ ，已知水利人员在某个时刻测得水面宽 $| A B | = 8 m$ ，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（）

A、8m B、6m C、4m D、2m

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6. 已知一个乒乓球从 $m$ 米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的 $k (0 < k < 1)$ 倍，则当它第8次着地时，经过的总路程是（）

A、 $m + \frac{2 m k (1 - k^{8})}{1 - k}$ B、 $m + \frac{m k (1 - k^{8})}{1 - k}$ C、 $m + \frac{2 m k (1 - k^{7})}{1 - k}$ D、 $m + \frac{m k (1 - k^{7})}{1 - k}$

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7. 已知空间 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点共面，且其中任意三点均不共线，设 $P$ 为空间中任意一点，若 $\vec{B D} = 6 \vec{P A} - 4 \vec{P B} + λ \vec{P C}$ ，则 $λ =$ （）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，直线 $l$ 经过点 $(2021 ， 0)$ ，若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支只有一个交点，则直线 $l$ 的斜率的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $[- 1 ， 1]$

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二、多选题

9. 若抛掷一颗质地均匀的骰子，给出如下随机事件： $R_{i} =$ “点数为 $i$ ”，其中 $i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ ； $G_{1} =$ “点数不大于2”， $G_{2} =$ “点数大于2”， $G_{3} =$ “点数大于4”；则（）

A、 $R_{1}$ 与 $R_{2}$ 互斥 B、 $R_{2}$ 与 $R_{3}$ 为对立事件 C、 $G_{1} \cup G_{2} = Ω$ ， $G_{1} G_{2} = \emptyset$ D、 $G_{2} \cap G_{3} = G_{3}$

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10. 已知圆 $O_{1}$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ ， $O_{2}$ ： ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 4$ ，则（）

A、圆 $O_{1}$ 的圆心坐标是 $(1 ， - 2)$ B、圆 $O_{1}$ 的半径等于4 C、圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 相离 D、圆 $O_{1}$ 与 $y$ 轴相交，且截得的弦长等于 $2 \sqrt{3}$

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11. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则 $\vec{B D_{1}} =$ （）

A、 $\vec{A_{1} D_{1}} - \vec{A_{1} A} - \vec{A B}$ B、 $\vec{B C} + \vec{B B_{1}} - \vec{D_{1} C_{1}}$ C、 $\vec{A D} - \vec{A B} - \vec{D D_{1}}$ D、 $\vec{B_{1} D_{1}} - \vec{A_{1} A} + \vec{D D_{1}}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = - n^{2} + 8 n + 3$ ，则（）

A、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = 9 - 2 n$ B、数列 ${a_{n}}$ 单调递减 C、数列 ${a_{n}^{2}}$ 的所有项中第四项或第五项最小 D、数列 ${| a_{n} |}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = {\begin{array}{l} - n^{2} + 8 n + 3 ， n \leq 4 \\ 19 + {(n - 4)}^{2} ， n \geq 5 \end{array}$

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三、填空题

13. 在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；

② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；

③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是 $\frac{1}{5}$ ，那么1日—30日中就有6天是下雨的；

其中，正确的是.（用序号表示）

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14. 设 $θ$ 为三角形的一个内角，已知曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{\sin θ} + y^{2} \cos θ = 1$ ，则 $C$ 可能是.（写出不同曲线的名称，尽可能多.注：在一些问题情景中，直线可以理解成是特殊的曲线）

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15. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，M为 $B C$ 的中点，若 $P D = D C = 2$ ，则点 $D$ 到平面PAM的距离为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} \neq \frac{1}{3}$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} (a_{n} + 1)$ ，记 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} (n \in N^{*})$ ，若 $\sum_{k = 1}^{2021} \frac{1}{1 + a_{k}} = 3$ ，则 $a_{2022} =$ .（用 $a_{1}$ 表示）

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四、解答题

17. 某公司有员工

80

人，对他们进行年龄和学历情况的调查，其结果如下：

	本科	专科	合计
30岁以下	40	5	45
30—45岁	15	5	20
45岁以下	5	10	15
合计	60	20	80

现从这80名员工中随机抽取一人，设 $A =$ “抽取的人具有本科学历”， $B =$ “抽取的人年龄在30岁以下”，试求：

(1)、

P (A)

；

(2)、

P (\bar{B})

；

(3)、

P (\bar{A} B)

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18. 已知三条直线 $l_{1}$ ： $2 x - y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $3 x + y - 6 = 0$ ， $l_{3}$ ： $k x - y + k + 1 = 0$ （ $k$ 是常数），.

(1)、若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 相交于一点，求 $k$ 的值；

(2)、若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 不能围成一个三角形，求 $k$ 的值：

(3)、若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 能围成一个直角三角形，求 $k$ 的值.

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19. 已知圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 12 = 0$ ，过圆 $M$ 外一点 $P (3 ， - 1)$ 作圆 $M$ 的两条切线PA，PB，A，B为切点，设 $Q$ 为圆 $M$ 上的一个动点.

(1)、求 $| P Q |$ 的取值范围；

(2)、求直线AB的方程.

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20. 如图，正方体 $A C B D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点E，F分别在棱BC，CD上运动，且 $B E = C F$ .

(1)、求证： $B_{1} F ⊥ D_{1} E$ ；

(2)、求三棱锥 $C - E F C_{1}$ 的体积的最大值：

(3)、当E，F分别是棱BC，CD的中点时，求平面 $C_{1} E F$ 与平面 $A_{1} A D D_{1}$ 的夹角的正弦值.

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21. 设 $S_{n}$ 是首项为 $- 1$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n}$ 是首项为1的等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $H_{n}$ 为数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $D_{n}$ 为数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $D_{2} = 3$ .

(1)、若 $T_{3} = 13$ ，求 $S_{n}$ ；

(2)、若 $D_{3} = 10$ ，求 $H_{n}$ .

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22. 已知椭圆 $G$ 的中心在原点 $O$ ，对称轴为坐标轴且焦点在 $x$ 轴上，抛物线 $M$ ： $y^{2} = 8 x$ ，若抛物线 $M$ 的焦点在椭圆 $G$ 上，且椭圆 $G$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $G$ 的方程；

(2)、已知斜率存在且不为零的直线 $l$ 满足：与椭圆 $G$ 相交于不同两点 $A$ ､ $B$ ，与直线 $x + 4 = 0$ 相交于点 $Q$ .若椭圆 $G$ 上一动点 $P$ 满足： $A O ∥ P B$ ， $B O ∥ P A$ ，且存在点 $T (x_{0} ， 0)$ ，使得 $\vec{O P} \cdot \vec{T Q}$ 恒为定值 $\frac{3}{2}$ ，求 $x_{0}$ 的值.

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