浙江省丽水市2021-2022学年高二上学期数学期末教学质量监控试卷

试卷更新日期：2022-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 经过点 $(0 ， 0)$ ， $(1 ， 3)$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、 $3$

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{4} + a_{8} = 16$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、4 B、±4 C、8 D、±8

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3. 已知抛物线的方程为 $y^{2} = 2 x$ ，则此抛物线的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = \frac{1}{2}$ C、 $y = - \frac{1}{2}$ D、 $y = \frac{1}{2}$

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4. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $B D_{1}$ 中点，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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5. 空间中两条不同的直线m，n和平面 $α$ ，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m // n$ B、若 $m // α$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ C、若 $m ⊥ n$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $m ⊥ n$ ， $n // α$ ，则 $m ⊥ α$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知三棱锥 $S - A B C$ 中， $S C = 2 \sqrt{3} ， A B = 2$ ， $E ， F$ 分别是 $S A ， B C$ 的中点， $E F = 1$ ，则 $E F$ 与 $A B$ 所成的角大小为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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8. 在数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中，满足 ${b_{1} ， b_{2} ， b_{3} ， \dots} = {a_{k} \in Z | a_{k} = \sqrt{4 k + 1} ， k \in N^{*}}$ ，且 $b_{n} < b_{n + 1}$ ，若 $b_{100} = a_{m}$ $(m \in N^{*})$ ，则 $m =$ （）

A、5050 B、5100 C、10050 D、10100

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二、多选题

9. 如图，一缕阳光从圆形的窗孔射入，在水平地面上形成椭圆形光斑（轮廓为椭圆），若光线与水平地面所成的角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，则下列是说法正确的是（）

A、椭圆的离心率 $e = \sin α$ B、椭圆的离心率 $e = \cos α$ C、椭圆的离心率 $e$ 随 $α$ 的增大而减小 D、椭圆的离心率 $e$ 随 $α$ 的增大而增大

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10. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $m$ ， $n \in$ $N *$ ，下列结论一定成立的是（）

A、若 $m + n$ 为偶数，则 $a_{m} \cdot a_{n} > 0$ B、若 $m + n$ 为奇数，则 $a_{m} \cdot a_{n} > 0$ C、若 $m \cdot n$ 为偶数，则 $a_{m} \cdot S_{n} > 0$ D、若 $m \cdot n$ 为奇数，则 $a_{m} \cdot S_{n} > 0$

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11. 已知函数 $f (x) = a {(x - a)}^{2} (x - b) （ a \neq 0)$ 的极大值点为 $x = a$ ，则（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{2} < a b$ C、若 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 0$ D、若 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$

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12. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{6}$ ， $P$ 是该正四棱柱表面或内部一点，直线 $P B$ ， $P C$ 与底面 $A B C D$ 所成的角分别记为 $α ， β$ ，且 $\sin β = 2 \sin α$ ，记动点 $P$ 的轨迹与棱 $B C$ 的交点为 $Q$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $Q$ 为 $B C$ 中点 B、线段 $P A_{1}$ 长度的最小值为 $5$ C、存在一点 $P$ ，使得 $P Q / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ D、若 $P$ 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面，则点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{8 + 3 \sqrt{3}}{6} π$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{m} = (1 ， 0 ， 2 k - 1) ， \vec{n} = (- 1 ， 0 ， 2)$ ，若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则 $k =$

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14. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ ，则圆心距 $| C_{1} C_{2} | =$

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15. 我国南北朝著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，若截得的两个截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．在数学上运用祖暅原理推导球的体积公式时，构造了一个底面半径与高都为 $R$ 的圆柱内挖掉一个等高的圆锥的几何体（如图所示），则该几何体的体积为

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0$ ， $b > 0)$ 的左、右焦点，双曲线上有一点 $M$ ，满足 $| M F_{1} | = λ | M F_{2} | (\frac{1}{3} \leq λ \leq \frac{1}{2})$ ，且 $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ ，则该双曲线离心率的取值范围是

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17. 在第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平主席表示，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．某地2020年共发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，从2021年起，每年发放的电动型汽车牌照按前一年的50%增长，燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张，同时规定，若某年发放的汽车牌照超过15万张，以后每年发放的电动车牌照的数量维持在这一年的水平不变.那么从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为万张．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{a} - a^{x}$ $(x > 0$ 且 $a > 0)$ 有两个不同的零点，则 $a$ 的取值范围是

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四、解答题

19. 已知圆 $C$ 的圆心为点 $(1 ， 2)$ ，且与 $x$ 轴相切.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、求直线 $l ： 2 x - y + 2 = 0$ 被圆 $C$ 所截得的弦长．

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20. 已知三棱柱 $A B C - D E F$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A D$ ， $∠ D A B = ∠ D A C$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ A D$ ；

(2)、若二面角 $A - B C - E$ 的大小为 $135 °$ ，求直线 $D B$ 与平面 $B E F C$ 所成角的大小．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin x}{e^{x}}$ ， $x \in [0 ， π]$ ．注： $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、记函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，求证： $| f^{'} (x) | \leq 1$ ．

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22. 已知数列 ${n a_{n}}$ 是以 $1$ 为首项， $\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 2$ ， $n b_{n + 1} - (n + 1) b_{n} = n (n + 1) d_{n}$ ， $n \in N *$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、（i）若 $d_{n} = 1$ ，记 $c_{n} = a_{n + 1} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；
（ii）若 $d_{n} = 2 n + 1$ ，证明： $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \dots + \frac{1}{b_{n}} < \frac{3}{4}$ ．

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23. 如图，椭圆 $E_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的右焦点为 $F (\sqrt{3} ， 0)$ ，椭圆 $E_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{m} = t (0 < t < 1 ）$ ，椭圆 $E_{2}$ 的切线 $M N$ 、 $M P$ 交椭圆 $E_{1}$ 于 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 三点，切点分别为 $Q$ 、 $R$ .

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、求证：点 $Q$ 是线段 $M N$ 的中点；

(3)、求四边形 $O Q M R$ 面积的最大值．

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