浙江省金衢六校联盟2021-2022学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = 1 - 2 i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. “ $a > b > 0$ ”是“ $\frac{a}{b} > 1$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{6}$ C、 $f (x)$ 的一个零点为 $\frac{π}{6}$ D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 的最小值为1

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4. 化学中，将构成粒子（原子､离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知钙､钛､氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点）.则图中原子连线BF与 $B_{1} E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 已知直线 $l ： a x + y - 2 - a = 0$ 在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）

A、-2或1 B、-2或-1 C、-2 D、1

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6. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆 $\frac{x^{2}}{3}$ ＋y²＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、6 C、4 $\sqrt{3}$ D、12

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7. 函数f（x）＝ $\frac{\ln | x |}{x}$ 的图象大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $F$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点，圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 与双曲线在第一象限的交点为 $P$ ，若 $P F$ 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、多选题

9. 下列命题是真命题的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ B、 $\exists x > 0$ ， $\ln x = x$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x \geq - 1$ D、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} = 2^{x}$

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10. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， E ， F ， G$ 分别为 $B C ， C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点.则（）

A、直线 $D_{1} D$ 与直线AF垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面AEF平行 C、平面AEF截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$ D、点 $A_{1}$ 和点D到平面AEF的距离相等

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左、右两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，P为椭圆上一动点， $M (1 ， 1)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为8 B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的最大面积为 $2 \sqrt{2}$ C、存在点P使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ D、 $| P M | + | P F_{1} |$ 的最大值为5

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \\ | \log_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若x₁<x₂<x₃<x₄ ，且f(x₁)＝f(x₂)＝f(x₃)＝f(x₄)，则下列结论正确的是（）

A、x₁＋x₂＝－1 B、x₃x₄＝1 C、1<x₄<2 D、0<x₁x₂x₃x₄<1

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三、填空题

13. 已知抛物线 $y^{2} = 2 a x$ 的准线方程为 $x = - 2$ ，则 $a =$ ．

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14. 已知 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，则以AB为直径的圆的方程为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 |, x < 0 \\ x^{\frac{1}{2}}, x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 3)) =$ ．

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16. 已知点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 上，已知 $A (4 ， 0)$ ， $B (0 ， - 4)$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 设函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和 $f (x)$ 的最大值；

(2)、已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若 $f (A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $a = 4$ 且 $b + c = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 某高中高二年级学生在学习完成数学选择性必修一后进行了一次测试，总分为100分.现用分层随机抽样方法从学生的数学成绩中抽取一个样本量为40的样本，再将40个成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、从所给的频率分布直方图中估计成绩样本数据众数，平均数，中位数；

(2)、在区间[40，50）和[90，100]内的两组学生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率.

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19. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 21 = 0$ 和直线 $l ： k x - y - 4 k + 3 = 0$ .

(1)、求直线l所经过的定点的坐标，并判断直线与圆的位置关系；

(2)、求当k取什么值，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，O是AD边的中点， $P O ⊥$ 底面ABCD. $P O = 1$ .在底面ABCD中， $B C ∥ A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $B C = C D = 1$ ， $A D = 2$ .

(1)、求证：AB $∥$ 平面POC；

(2)、求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[- 1 ， 2]$ ，求a，b的值；

(2)、若 $f (2) = 5$ ，a，b均正实数，求 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值；

(3)、若 $a = 2$ ，当 $x > 0$ 时，若不等式 $f (x) (x - 2) \geq 0$ 恒成立，求实数b的值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点分别为A，B，椭圆C的左､右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点 $M (0 ， - 2)$ 为椭圆C的下顶点，直线MA与MB的斜率之积为 $- \frac{2}{3}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设点P，Q为椭圆C上位于x轴下方的两点，且 $P F_{1} ∥ Q F_{2}$ ，求四边形 $F_{1} P Q F_{2}$ 面积的最大值.

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