浙江省金华十校2021-2022学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-03-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $A (1 ， - 2 ， 3)$ ，则点 $A$ 关于 $x O y$ 平面的对称点的坐标是（）

A、 $(- 1 ， - 2 ， 3)$ B、 $(- 1 ， - 2 ， - 3)$ C、 $(1 ， - 2 ， - 3)$ D、 $(- 1 ， 2 ， - 3)$

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2. 已知 $a_{n + 1} = {\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2} ， a_{n} 是偶数 \\ a_{n} + 1 ， a_{n} 是奇数 \end{matrix}$ ， $n \in N^{*}$ ，若 $a_{1} = 21$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、6 B、11 C、12 D、22

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3. 已知 $△ A B C$ 的周长等于10， $| B C | = 4$ ，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点 $A$ 的轨迹方程可以是（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1 (y \neq 0)$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (y \neq 0)$ C、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1 (y \neq 0)$ D、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1 (y \neq 0)$

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4. 在四棱锥 $A - B C D$ 中， $M ， N$ 分别为 $A B ， C D$ 的中点，则（）

A、 $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}$ B、 $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ C、 $\vec{M N} = - \frac{1}{2} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ D、 $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$

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5. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，则（）

A、数列 ${\sqrt{a_{n}}}$ 是等差数列 B、数列 ${a_{n}^{2}}$ 是等比数列 C、数列 ${\lg a_{n}}$ 是等差数列 D、数列 ${2^{a_{n}}}$ 是等比数列

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6. 气象台 $A$ 正南方向 $400 km$ 的一台风中心，正向北偏东30°方向移动，移动速度为 $50 km / h$ ，距台风中心 $250 km$ 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风影响持续时间大约是（）

A、 $3 h$ B、 $4 h$ C、 $5 h$ D、 $6 h$

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7. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，且满足 $\vec{D E} = x \vec{D A} + y \vec{D C} + (1 - x - y) \vec{D D_{1}}$ ，则 $| \vec{D E} |$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知 $A ， B ， C$ 三个观测点， $A$ 在 $B$ 的正北方向，相距 $2040 m$ ， $C$ 在 $B$ 的正东方向，相距 $1360 m$ .在某次爆炸点定位测试中， $A ， B$ 两个观测点同时听到爆炸声， $C$ 观测点晚 $2 s$ 听到，已知声速为 $340 m / s$ ，则爆炸点与 $C$ 观测点的距离是（）

A、 $680 m$ B、 $1020 m$ C、 $1360 m$ D、 $1700 m$

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二、多选题

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 1$ ，则（）

A、a₂+a₈=2 B、 $a_{3} a_{7} = 1$ C、 $S_{9} = 9$ D、 $S_{10} = 10$

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10. 已知直线 $l ： (m + 1) x + (m - 1) y - 2 m = 0 (m \in R)$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，则（）

A、直线 $l$ 经过定点 $(1 ， 1)$ B、直线 $l$ 与圆 $O$ 相切时 $m = - 1$ C、当 $m = 0$ 时直线 $l$ 被圆 $O$ 截得弦长等于1 D、当 $m = \frac{1}{2}$ 时直线 $l$ 被圆 $O$ 截得弦长等于 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

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11. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， M$ 为椭圆上一点，满足 $M F_{2}$ 垂直于 $x$ 轴，且 $M F_{1}$ 与以 $O F_{2}$ 为直径的圆相切于点 $N$ （ $O$ 为坐标原点），则（）

A、 $| M F_{1} | = 3 | M F_{2} |$ B、 $| M N | = | M F_{2} |$ C、 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 2 | F_{1} F_{2} |$ D、 $| M F_{1} | - | M F_{2} | = \frac{\sqrt{2}}{2} | F_{1} F_{2} |$

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12. 全班学生到工厂劳动实践，各自用 $| A B | = 4 cm$ ， $| B C | = | C C_{1} | = 2 cm$ 的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 切割出四棱锥 $P - F B E D$ 模型.产品标准要求： $E ， F$ 分别为 $A B ， C D$ 的中点， $P$ 可以是线段 $A_{1} B_{1}$ (不含端点)上的任意一点，有四位同学完成制作后，对自己所做的产品分别作了以下描述，你认为有可能符合标准的是（）

A、使直线 $P D$ 与平面 $P E B$ 所成角取到了最大值 B、使直线 $P E$ 与平面 $P D F$ 所成角取到了最大值 C、使平面 $P D E$ 与平面 $P F B$ 的夹角取到了最大值 D、使平面 $P D F$ 与平面 $P E B$ 的夹角取到了最大值

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三、填空题

13. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，对 $△ A B D$ 部分以 $B D$ 为轴进行翻折， $A$ 翻折到 $A^{'}$ ，使二面角 $A^{'} - B D - C$ 的平面角为直二面角，则 $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{C D} =$ .

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14. 若圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与圆 $A ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 6 = 0$ 相交，则 $r$ 的取值范围是.

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15. 达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点 $F$ 到直线 $Q C$ 的距离是.

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16. 某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有万元.（参考数据： ${1.1}^{10} \approx 2.59$ ， ${1.1}^{11} \approx 2.85$ ， ${1.1}^{12} \approx 3.14$ ）

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 3 a_{n} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等差数列， $b_{3} = 5$ ，前4项和 $S_{4} = 16$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求和： $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + a_{b_{3}} + \dots + a_{b_{n}}$ .

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18. 已知：圆 $P$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，边 $B C$ 所在直线 $l_{1}$ 的方程为 $4 x - 3 y - 3 = 0$ ，中线 $A D$ 所在直线 $l_{2}$ 的方程为 $8 x - y - 1 = 0$ ，直线 $l_{3} ： x + y - 8 = 0$ 与圆 $P$ 相切于点 $A$ .

(1)、求点 $A$ 和点 $D$ 的坐标；

(2)、求圆 $P$ 的方程.

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19. 已知： $a > b > 0$ ，椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，双曲线 $C_{2} ： \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ .

(1)、若 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $C_{2}$ 的离心率；

(2)、当 $a = 2 ， b = 1$ 时，过点 $A (0 ， 1)$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 的另一个交点为 $P$ ，与 $C_{2}$ 的另一个交点为 $Q$ ，若 $P$ 恰好是 $A Q$ 的中点，求直线 $l$ 的方程.

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $P B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ P D C = ∠ A D C = \frac{π}{3}$ ， $N$ 是 $C D$ 的中点.

(1)、若 $M$ 为线段 $P B$ 的中点，证明： $M N ∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、线段 $P B$ 上是否存在点 $M$ ，使得直线 $P A$ 与平面 $C M N$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，若存在，求 $B M$ 的长，若不存在，请说明理由.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 3 \cdot 4^{n} - 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $n (n + 1) ， n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1 ， 1] = 1 ， [- 1 ， 1] = - 2$ ，设 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，令 $c_{n} = [\log_{4} S_{n}]$ ，求证： $\frac{1}{c_{1} c_{2}} + \frac{1}{c_{2} c_{3}} + \dots + \frac{1}{c_{n} c_{n + 1}} < 1$ .

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22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $A (x_{0} ， y_{0})$ 到抛物线焦点的距离为 $x_{0} + \frac{1}{4}$ ，点 $A ， B$ 关于坐标原点对称，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线， $D$ 为垂足，直线 $B D$ 与抛物线 $C$ 交于 $M ， N$ 两点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $A M ， A N$ 与 $y$ 轴交点分别为 $P ， Q$ ，求 $\frac{| P Q |}{| A D |}$ 的值；

(3)、若 ${| M N |}^{2} = 4 \sqrt{2} | A M | \cdot | A N |$ ，求 $x_{0}$ .

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