初中数学北师大版八年级下册第五章第三节分式加减同步练习

试卷更新日期：2022-03-02 类型：同步测试

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一、单选题

1. 分式 $\frac{1}{2 a^{2} b}$ 与 $\frac{1}{6 a b^{2} c}$ 的最简公分母是（）

A、 $a b c$ B、 $a^{2} b^{2} c$ C、 $6 a^{2} b^{2} c$ D、 $12 a^{2} b^{2} c$

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2. 化简 $\frac{a}{a - 1} + \frac{1}{1 - a}$ 的结果为（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\pm 1$ D、1

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3. 计算 $\frac{4}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2}$ 的结果是（　　）

A、x﹣2 B、 $\frac{1}{x - 2}$ C、 $\frac{2}{x - 2}$ D、 $\frac{2}{x + 2}$

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4. 在计算时，把运算符号 “÷”看成了“+”，得到的计算结果是 m，则这道题正确的结果是（）

A、m B、 $\frac{1}{m}$ C、m-1 D、 $\frac{1}{m - 1}$

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5. 下列各式计算正确的是（）

A、 ${(\frac{- 2^{} b}{3 c})}^{2} = \frac{4 a^{4} b^{2}}{3 c^{2}}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x + y}$ C、 $3 x y \div \frac{2 y^{2}}{3 x} = 2 y^{3}$ D、 $\frac{1 - a}{a^{2} - 2 a + 1} = \frac{1}{1 - a}$

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6. 已知 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} = 3$ ，则代数式 $\frac{2 a - 5 a b + 4 b}{4 a b - 3 a - 6 b}$ 的值为（）

A、3 B、﹣2 C、﹣ $\frac{1}{3}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$

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7. 已知a，b均为正数，设 $M = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1} ， N = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ ．下列结论：①当 $a b = 1$ 时， $M = N$ ；②当 $a b > 1$ 时， $M > N$ ；③当 $a b < 1$ 时， $M < N$ ，正确的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格略有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次用去800元，乙每次购买1000千克，而不管购买多少饲料．设两次购买饲料的单价分别为m元/千克和n元千克（m，n是正数，且 $m \neq n$ ），那么甲、乙所购买的饲料的平均单价（）

A、甲所购买的饲料的平均单价低 B、乙所购买的饲料的平均单价低 C、甲、乙所购买的饲料的平均单价相同 D、不能比较

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二、填空题

9. 将分式 $\frac{3 c}{2 a^{3} b}$ 与 $\frac{c}{3 b^{3} a}$ 通分，那么最简公分母为.

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10. 计算： $\frac{- x^{2} - x}{x} + x =$ .

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11. 计算 $(a - \frac{2 a b - b^{2}}{a}) \div \frac{a - b}{a}$ 的结果是．

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12. 若 $x^{2} + x - 3 = 0$ ，则代数式 $(x - \frac{1}{x}) \cdot \frac{x^{2}}{x - 1}$ 的值是．

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13. $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ 是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且 $R_{1} + R_{2} \neq 0$ ．用 $R_{1} ， R_{2}$ 表示R，则R＝

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14. 已知 $x$ 为整数，且 $\frac{2}{x + 3} + \frac{2}{3 - x} + \frac{2 x + 18}{x^{2} - 9}$ 为整数，则所有符合条件的 $x$ 值的和为．

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15. 端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟.“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成，不计成本.其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷.端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的 $\frac{3}{2}$ 倍，当天的总利润率是50% .第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为.

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16. 若|a﹣1|+（ab﹣2）²＝0，则 $\frac{1}{a b} + \frac{1}{(a + 1) (b + 1)}$ $+$ … $+$ $\frac{1}{(a + 10) (b + 10)}$ ＝.

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三、计算题

17.

(1)、计算：( $\frac{3}{2}$ )^-1×（-3）²- $\sqrt{25}$ +2⁰.

(2)、化简： $\frac{2 a}{a + 1}$ - $\frac{a + 2}{a^{2} - 1}$ ÷ $\frac{a + 2}{a^{2} - 2 a + 1}$

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四、解答题

18. 有一道题：“先化简，再求值： $(\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{4 x}{x^{2} - 4})$ ÷ $\frac{1}{x^{2} - 4}$ ，其中x= -6．”小张做题时把x= -6错抄成x=6，但是他的计算结果却是正确的．请你阐明原因．

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19. 先化简，再求值： $(\frac{x^{2} + x}{x - 1} - x - 1) \div \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x$ 为不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (2 x + 3) - x < 12 ， \\ x \geq - 2 \end{array}$ 的整数解，挑一个合适的 $x$ 代入求值.

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20. 阅读下面材料，并解答问题.
将分式 $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

解：由分母为x²﹣1，可设x⁴+x²﹣3＝（x²﹣1）（x²+a）+b.

则x⁴+x²﹣3＝（x²﹣1）（x²+a）+b＝x⁴﹣x²+ax²﹣a+b＝x⁴+（a﹣1）x²﹣a+b

∴ ${\begin{cases} a - 1 = 1 \\ - a + b = - 3 \end{cases}$ ，∴ ${\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases}$

∴ $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ ＝ $\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2) - 1}{x^{2} - 1}$ ＝ $\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2)}{x^{2} - 1}$ ﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ ＝（x²+2）﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$

这样，分式 $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ 被拆分成了一个整式x²+2与一个分式﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 的和.

根据上述作法，将分式 $\frac{x^{4} + 6 x^{2} - 8}{x^{2} - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

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21. 某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．

(1)、求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？

(2)、若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c + 1}$ 的值．

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五、综合题

22. 若 $x = \frac{a + b}{a - b}$ ， $y = \frac{b + c}{b - c}$ ， $z = \frac{c + a}{c - a}$ ，设 $M = (x + 1) (y + 1) (z + 1)$ ， $N = (x - 1) (y - 1) (z - 1)$

(1)、请你任意给出一组a，b，c的值，计算出M和N的值；

(2)、猜想M和N的大小关系，并证明．

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23. 在分式 $\frac{N}{M}$ 中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时， $b = 0$ ），则称分式 $\frac{N}{M}$ 为 $(a - b)$ 次分式．例如， $\frac{x + 1}{x^{4} - x^{3}}$ 为三次分式．

(1)、请写出一个只含有字母 $x$ 的二次分式；

(2)、已知 $A = \frac{m x + 2}{x - 3}$ ， $B = \frac{n x + 3}{x^{2} - 9}$ （其中m，n为常数）．
①若 $m = 0$ ， $n = - 5$ ，则 $A \cdot B$ ， $A + B$ ， $A - B$ ， $A^{2}$ 中，化简后是二次分式的为 ▲ ；
②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求 $2 m + n$ 的值．

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24. （阅读学习）
阅读下面的解题过程：

已知： $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值．

解：由 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ 知x≠0，所以 $\frac{x^{2} + 1}{x} = 3$ ，即 $x + \frac{1}{x} = 3$

所以 $\frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7$

故 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值为 $\frac{1}{7}$ ．

（类比探究）

(1)、上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知 $\frac{x}{x^{2} - 3 x + 1} = - 1$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} - 7 x^{2} + 1}$ 的值．

(2)、（拓展延伸）
已知 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{15}$ ，求 $\frac{a b c}{a b + b c + a c}$ 的值．

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初中数学北师大版八年级下册第五章第三节 分式加减 同步练习

一、单选题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题

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