人教版数学九年级下册第二十八章第二节解直角三角形及其应用

试卷更新日期：2022-02-28 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ，如果 $∠ A = α ， A C = 1$ ，那么 $A B$ 等于（）

A、 $s i n α$ B、 $c o s α$ C、 $\frac{1}{s i n α}$ D、 $\frac{1}{c o s α}$

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2. 已知在Rt $△$ ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（）

A、b＝ctanA B、b＝ccotA C、b＝csinA D、b＝ccosA

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3. 在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆项的仰角为 $α$ ，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米

A、 $20 c o t α$ B、 $20 t a n α$ C、 $1.5 + 20 t a n α$ D、 $1.5 + 20 c o t α$

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4. 一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（）

A、30° B、 $1 ： \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点O相距30米的点A处，测得楼顶B点的仰角 $∠ O A B = 6 5^{°}$ ，则这幢大楼的高度为（）

A、 $30 \cdot s i n 6 5^{°}$ 米 B、 $\frac{30}{c o s 6 5^{°}}$ 米 C、 $30 \cdot t a n 6 5^{°}$ 米 D、 $\frac{30}{t a n 6 5^{°}}$ 米

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6. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝2，则AC＝（）

A、2sin50° B、2sin40° C、2tan50° D、2tan40°

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7. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°} ， A C = 4 ， t a n A = \frac{3}{4}$ .以点 $C$ 为圆心，CB长为半径的圆交AB于点 $D$ ，则AD的长是（）

A、1 B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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8. 某人沿着坡度为1∶ $\sqrt{3}$ 的山坡前进了1000 m，则这个人所在的位置升高了（）

A、1000 m B、500 m C、500 $\sqrt{3}$ m D、 $\frac{1000 \sqrt{3}}{3}$ m

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9. 将一副直角三角板如图放置，点 $C$ 在 $F D$ 的延长线上， $A B / / C F$ ， $∠ F = ∠ A C B = 90 °$ ， $∠ E = 30 °$ ， $∠ A = 45 °$ ， $A C = 6 \sqrt{2}$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $6 - 3 \sqrt{3}$ C、 $6 - 2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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10. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作 $\overset{⌢}{O C}$ 交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} π - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} - \frac{1}{3} π$ C、 $\frac{1}{3} π$ D、 $\sqrt{3} + \frac{1}{3} π$

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二、填空题

11. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 10 ， B C = 16 ， ∠ B = 6 0^{∘}$ ，那么 $A C =$ ．

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12. 如图，如果小华沿坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ 的坡面由A到B行走了8米，那么他实际上升的高度为米．

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13. 已知某小山坡的坡长为400米、山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度 $i =$

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14. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？．（结果保留根号）

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15. 某楼梯的侧面如所述，测得 $A C = 4 m$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，则该楼梯的高度 $A B =$ .

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16. 如图甲、乙两艘船同时从港口 A 出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B ， C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则此时甲、乙两船之间的距离是海里．

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 1}$ ÷（ $\frac{3}{x + 1}$ ﹣x+1），其中x=sin30°+2^﹣¹+ $\sqrt{4}$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 °$ ， $t a n C = \frac{2}{3}$ ， $A C = 2 \sqrt{13}$ ，求BC的长．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点D，若 $A D = 6$ ． $\tan C = \frac{3}{2}$ ， $B C = 12$ ，求 $\cos B$ 的值．

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20. 2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞．运载火箭从地面О处垂直地面发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30°.经过3秒后，火箭从点A直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45° .已知c，D两处相距460米，求火箭从A 到B处的平均速度(结果精确到1米/秒，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732 ， \sqrt{2} \approx 1.414$ ).

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21. 居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）
题目
测量城楼顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据
BM=16m， BC=13m，∠ABC=35°，∠ACE=45°

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题目	测量城楼顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据	BM=16m， BC=13m，∠ABC=35°，∠ACE=45°