山东省济南市章丘区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $3 x = 5 y (y \neq 0)$ ，则下列比例式成立的是（）

A、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ B、 $\frac{x}{5} = \frac{y}{3}$ C、 $\frac{x}{y} = \frac{3}{5}$ D、 $\frac{x}{3} = \frac{5}{y}$

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3. 反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数的图象也经过点（）

A、（2，﹣3） B、（﹣3，﹣3） C、（2，3） D、（﹣4，6）

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4. 如图，△ABC中，点D、E分别为边AB和AC中点，且S_△ADE=3，则S_△ABC等于（）

A、4 B、8 C、9 D、12

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5. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（）个．

A、8 B、9 C、14 D、15

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6. 已知点A（﹣1，y₁）、B（﹣3，y₂）、C（ $\frac{1}{2}$ ，y₃）在反比例函数y＝﹣ $\frac{6}{x}$ 的图象上，则y₁、y₂、y₃的大小关系正确的是（）

A、y₁＞y₂＞y₃ B、y₂＞y₁＞y₃ C、y₂＞y₃＞y₁ D、y₃＞y₁＞y₂

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7. 关于x的方程x²＋mx＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（）

A、－3 B、－6 C、3 D、6

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8. 下列命题正确的是（）

A、对角线相等的四边形是平行四边形 B、对角线相等的四边形是矩形 C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

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9. 已知关于x的方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）

A、没有实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、不能确定

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10. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（）cm．

A、 $\frac{15}{4}$ B、5 C、 $\frac{15}{2}$ D、8

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12. 如图， $R t △ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 为 $A B$ ， $A C$ 边上的两个动点，且 $D E = 6$ ， $F$ 为 $D E$ 中点，则 $\frac{1}{2} B F + C F$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $\sqrt{73}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5} + 10}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{265}}{2}$

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二、填空题

13. 一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球恰好颜色不同的概率是．

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14. 如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD， $C D ⊥ B D$ ．且测得 $A B = 1.4$ 米， $P B = 2.1$ 米，PD=12米，那么该古墙的高度是米．

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15. 如图，在菱形ABCD中，已知AB＝5，AC＝6，那么菱形ABCD的面积为．

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16. 某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则x是．

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17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知AD=5，BD=4，那么BC= ．

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18. 如图，点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} \dots$ 在反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $B_{1} ， B_{2} ， B_{3} ， \dots ， B_{n}$ 在 $y$ 轴上，且 $∠ B_{1} O A_{1} = ∠ B_{2} B_{1} A_{2} = ∠ B_{3} B_{2} A_{3} = \dots$ ，直线 $y = x$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 交于点 $A_{1}$ ， $B_{1} A_{1} ⊥ O A_{1} ， B_{2} A_{2} ⊥ B_{1} A_{2} ， B_{3} A_{3} ⊥ B_{2} A_{3} ， \dots$ ，则 $B_{2022}$ 的坐标是．

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三、解答题

19. 解方程： $x^{2} - 6 x + 8 = 0$

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20. 已知：如图， $D$ 、 $E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上的点， $∠ A E D = ∠ B$ ， $A D = 3$ ， $A B = 8$ ， $A E = 4$ ．求 $A C$ 的长度．

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21. 如图，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN＝BM ．

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22. 如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如图，墙长9m），面积是30m² ．求生物园的长和宽．

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23. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ，对角线 $B D$ 的垂直平分线与边 $A D$ 、 $B C$ 分别相交于点 $M$ 、 $N$ .

(1)、求证：四边形 $B N D M$ 是菱形；

(2)、若 $∠ C = 90 °$ ， $B C = 16$ ， $C D = 8$ ，求菱形 $B N D M$ 的周长.

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24. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.

请根据以上信息，解答下列问题

(1)、这次被调查的学生共有多少名？

(2)、请将条形统计图补充完整；

(3)、若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？

(4)、该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

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25. 如图

(1)、感知：数学课上，老师给出了一个模型：
如图1， $∠ B A D = ∠ A C B = ∠ A E D = 90 °$ ，由 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ B A D = 180 °$ ， $∠ 2 + ∠ D + ∠ A E D = 180 °$ ，可得 $∠ 1 = ∠ D$ ；又因为 $A C B = ∠ A E D = 90 °$ ，可得 $△ A B C ∽ △ D A E$ ，进而得到 $\frac{B C}{A C} =$ ．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．

(2)、应用：实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B C = 12$ ，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且 $∠ A P D = ∠ B$ ．
①求证： $△ A B P ∽ △ P C D$ ；
②当点P为BC中点时，求CD的长；

(3)、拓展：在（2）的条件下如图2，当 $△ A P D$ 为等腰三角形时，请直接写出BP的长．

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26. 如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y= $\frac{k}{x}$ 交于点A（a，2）和点B两点．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、求点B的坐标和△AOB的面积；

(3)、若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．

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27. 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，AC=2，点A₁ ， B₁为边AC，BC的中点，连接A₁B₁ ，将△A₁B₁C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．

(1)、如图1，当α=0°时， $\frac{B B_{1}}{A A_{1}} =$ ， BB₁ ， AA₁所在直线相交所成的较小夹角的度数为；

(2)、将△A₁B₁C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)、当△A₁B₁C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出△ABA₁面积的最大值；
②当A₁ ， B₁ ， B三点共线时，请直接写出线段BB₁的长．

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