山东省济南市莱芜区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图所示的几何体的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列函数中， $y$ 随 $x$ 的增大而减小的函数是（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ C、 $y = - 3 x^{2}$ D、 $y = 1 + 2 x$

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3. 在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其它均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为（）

A、 $\frac{6}{25}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 如图，给出了一种机器零件的示意图，其中 $C E = 1$ 米， $B F = \sqrt{3}$ 米，则 $A B =$ （）

A、 $(1 + \sqrt{3})$ 米 B、 $(\sqrt{3} - 1)$ 米 C、 $(2 - \sqrt{3})$ 米 D、 $(2 + \sqrt{3})$ 米

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5. 如图， $A B$ 是半圆的直径， $C$ 、 $D$ 是半圆上的两点， $∠ A D C = 105 °$ ，则 $∠ A B C =$ （）

A、55° B、65° C、75° D、85°

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6. 将抛物线 $y = - {(x - 1)}^{2} + 4$ 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 1 ， - 7)$ C、 $(0 ， 6)$ D、 $(1 ， - 3)$

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7. 如图，某水库大坝的横断面是梯形 $A B C D$ ，坝高 $D E = 5 m$ ，斜坡 $B C$ 的坡比为 $5 ： 12$ ，则斜坡BC=（）

A、13m B、8m C、18m D、12m

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8. 如图， $⊙ O$ 的半径为6，将劣弧沿弦 $A B$ 翻折，恰好经过圆心 $O$ ，点 $C$ 为优弧 $A B$ 上的一个动点，则 $△ A B C$ 面积的最大值是（）

A、 $27 \sqrt{3}$ B、 $27 \sqrt{2}$ C、 $9 \sqrt{3}$ D、 $18 + 18 \sqrt{2}$

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9. 如图，过 $x$ 轴正半轴上的任意点 $P$ ，作 $y$ 轴的平行线，分别与反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 和 $y = - \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $B$ 、 $A$ 两点．若点 $C$ 是 $y$ 轴上任意一点，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 用一块弧长 $6 π c m$ 的扇形铁片，做一个高为4cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为（） $c m^{2}$

A、 $12 π$ B、 $14 π$ C、 $15 π$ D、 $24 π$

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11. 一次函数 $y = b x + a (b \neq 0)$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象，图象过点 $(3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，有下列五个结论：① $a b c > 0$ ；② $3 a + c = 0$ ；③ $4 a - 2 b + c > 0$ ；④ $m (a m + b) < a + b$ （ $m$ 为任意实数）；⑤方程 $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 有两个实数根，一个大于3，一个小于-1．其中结论正确的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面 $20 \sqrt{3}$ 米的 $D$ 处，无人机测得操控者 $A$ 的俯角为30°，测得点 $C$ 处的俯角为45°．又经过人工测量操控者 $A$ 和教学楼 $B C$ 之间的水平距离为80米，教学楼 $B C$ 的高度米．（注：点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 都在同一平面上，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ，结果保留整数）．

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14. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象顶点坐标是 $(- 1 ， - 9)$ ，还经过点 $(1 ， - 5)$ ，它的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，则线段 $A B$ 的长为．

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15. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是．

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16. 如图，点 $A (5 a - 1 ， 2)$ 、 $B (8 ， 1)$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，点 $P$ 是直线 $y = x$ 上的一个动点，则 $P A + P B$ 的最小值是．

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17. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ， $∠ C = 30 °$ ， $C D = 6$ ，则 $S_{阴影} =$ ．

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三、解答题

18. 计算： $\sqrt{18} - {(s i n 60 ° - 2022)}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - 6 c o s 45 °$ ．

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19. 北京将于2022年举办冬奥会和冬残奥会，中国将成为一个举办过五次各类奥林匹克运动会的国家．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将三张邮票背面朝上，洗匀放好．

(1)、小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会会徽”的概率是；

(2)、小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）

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20. 某校为检测师生体温，在学校门口安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图，身高1.7米的小聪做了如下实验：当他在地面 $M$ 处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头 $B$ 处测得 $A$ 的仰角为45°；当他在地面 $N$ 处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头 $C$ 处测得 $A$ 的仰角为58°．如果测温门顶部 $A$ 处距地面的高度 $A D$ 为3.3米，求小聪在有效测温区间 $M N$ 的长度约为多少米？（结果保留一位小数，注：额头到地面的距离以身高计， $s i n 58 ° \approx 0.8$ ， $c o s 58 ° \approx 0.5$ ， $t a n 58 ° \approx 1.6$ ．）

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21. 如图，直线 $y = k_{1} x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $A B$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D (0 ， - 5)$ ， $O A = 5$ ， $t a n ∠ A O C = \frac{3}{4}$ ，点 $B$ 的纵坐标为-8．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求 $△ A O D$ 的面积；

(3)、直接写出不等式 $k_{1} x + b \leq \frac{k_{2}}{x}$ 的解集．

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22. 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为 $W$ （元）．

(1)、求出每月的销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）之间的函数关系式；

(2)、这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)、为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $O C$ 是半径，连接 $A C$ ， $B C$ ．延长 $O C$ 至点 $D$ ，使 $∠ C A D = ∠ B$ ，过点 $D$ 作 $D M ⊥ A D$ 交 $A C$ 的延长线于点 $M$ ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 6$ ， $t a n ∠ C A D = \frac{1}{2}$ ，求 $⊙ O$ 半径的长．

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24. 如图，已知抛物线与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $D$ 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 $C$ 、 $B$ 不重合），过点 $D$ 作 $D F ⊥ x$ 轴于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作 $D M ⊥ B C$ ，垂足为 $M$ ．求线段 $D M$ 的最大值；

(3)、已知 $P$ 为抛物线对称轴上一动点，若 $△ P B C$ 是直角三角形，求出点 $P$ 的坐标．

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