广东省汕头市澄海区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中，点A(1，-2)和点B(m，2)关于原点对称，则m的值为（）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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2. 从-2，0，2，3中随机选一个数，是不等式 $2 x - 3 \geq 1$ 的解的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OB．若OA＝8，则点A经过的路径长度为（）

A、 $4 π$ B、 $3 π$ C、 $2 π$ D、 $π$

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4. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到 $△ A O B$ ，若∠AOB＝25°，则 $∠ A O B^{^{'}}$ 的度数是（）

A、25° B、35° C、40° D、85°

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5. 已知直角三角形的两条边长分别是方程x²﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（）

A、4或5 B、3 C、 $\sqrt{41}$ D、3或 $\sqrt{41}$

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6. 如图，若抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + a^{2} - 1$ 经过原点，则抛物线的解析式为（）

A、 $y = - x^{2} - 2 x$ B、 $y = x^{2} - 2 x$ C、 $y = - x^{2} - 2 x + 1$ D、 $y = - x^{2} - 2 x$ 或 $y = x^{2} - 2 x$

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7. 如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，点D在⊙O 上，若∠ADC＝40°，则∠P的度数是（）

A、35° B、40° C、45° D、50°

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8. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 经过A（-2， $y_{1}$ ），B（-1， $y_{2}$ ），C（1， $y_{3}$ ）三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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9. 如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到 $△ A B C$ ．若点 $B$ 刚好落在BC边上，且 $A B = C B^{'}$ ，若∠C=20°，则△ABC旋转的角度为（）

A、60° B、80° C、100° D、120°

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10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + 3 x - 4$ 的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则 $P Q + \frac{\sqrt{2}}{2} P C$ 的最小值是（）

A、6 B、 $2 + \frac{3}{2} \sqrt{2}$ C、 $2 + 3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 一元二次方程 $x^{2} - 3 = 0$ 的解为．

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12. 二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 5$ 有最值为．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标是（0，3），把线段AP绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则点Q的坐标是．

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14. 二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-3
-2
-3
-6
-11
…
则该函数图象的顶点坐标为

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15. 如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA=5，AB=8，则AD的长为．

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16. 定义：关于x的方程 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} = 0$ （a₁≠0）与 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} = 0$ （a₂≠0），如果满足a₁+a₂＝0，b₁＝b₂ ， c₁+c₂＝0，则称这两个方程互为“对称方程”．若关于x的方程 $3 x^{2} + (m^{2} - 2 m + 3) x - 4 = 0$ 与 $- 3 x^{2} + 2 x + n = 0$ 互为“对称方程”，则 $(m - n)^{2}$ 的值为．

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17. 如图，已知四边形ABCD和四边形BEFM均为正方形，以B为圆心，以BE为半径作弧EM．若大正方形的边长为8厘米，则图中阴影部分的面积为．（结果保留 $π$ ）

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三、解答题

18. 已知关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} - 4 x + 2 = 0$ ．

(1)、若方程的一个根为 $x = 1$ ，求m的值；

(2)、若方程没有实数根，求m的取值范围．

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19. 如图，从某建筑物的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），点A离地面的高度为6米，抛物线的最高点P到墙的垂直距离为2米，到地面的垂直距离为8米，如图建立平面直角坐标系．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求水落地离墙的最远距离OB．

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20. 一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球1个，黄球1个，蓝球1个．

(1)、现从中任意摸出一个球，则摸到黄球的概率为；

(2)、现规定：摸到红球得6分，摸到黄球得4分，摸到蓝球得3分，甲同学先随机摸出一个小球（然后放回），乙同学再随机摸出一个小球为一次游戏．请用画树状图或者列表法，求一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于9分的概率．

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21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，连接AE．

(1)、求证：AB=AE；

(2)、若AB=AC，试判断四边形ACDE的形状，并说明理由．

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22. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．

(1)、请用尺规作图作出三角形ABC的外接圆⊙O；（不写作法及证明，应保留作图痕迹）

(2)、若BC＝4，AD=5，求⊙O的半径r．

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23. 某服装店销售的衬衫原来每件的售价为80元，经过两次降价后每件的售价为64.8元，并且每次降价的百分率相同．

(1)、求该衬衫每次降价的百分率；

(2)、若该衬衫每件的进价为60元，该服装店计划通过以上两次降价的方式，将库存的该衬衫40件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于282元，那么第一次降价时至少售出多少件后，方可进行第二次降价？

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24. 如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，以AD为直径作⊙O，⊙O与BC相切于点E，连结AE，过点C作CG⊥AB于点G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB于点P．

(1)、求证：∠BED=∠EAD；

(2)、求证：CE=EP；

(3)、连接PF，若CG=8，PG=6，求四边形CFPE的面积．

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25. 如图①，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点是A（2，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图②，P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到 $Δ A M N$ ，设点P的纵坐标为m．当 $Δ A M N$ 在△OAB的内部时，求m的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，是否存在点P，使 $S_{Δ A M N} = \frac{13}{15} S_{Δ O A B}$ ，若存在，求出满足条件点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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x	…	-3	-2	-1	0	1	…
y	…	-3	-2	-3	-6	-11	…