浙江省山河联盟2021-2022学年高二上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-02-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设x，y∈R，向量 $\vec{a} = (x ， 1 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， y ， 1) ， \vec{c} = (2 ， - 4 ， 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c} ， \vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，首项 $a_{1} > 0$ ，公差 $d < 0$ ， $S_{n}$ 为其前n项和，则点 $(n ， S_{n})$ 所在的曲线的图像可能是（）．

A、 B、 C、 D、

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3. 求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（）

A、x＋2y－3＝0 B、x＋2y＋3＝0 C、x＋2y－2＝0 D、x＋2y＋2＝0

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4. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，若 $∠ A A_{1} D_{1} = 90 °$ ， $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ B_{1} A_{1} D_{1} = 60 °$ ， $| \vec{A_{1} B_{1}} | = | \vec{A_{1} D_{1}} | = | \vec{A_{1} A} | = 2$ ，则 $| \vec{B_{1} M} |$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 两圆相交于两点（1，3）和（m， 1），两圆的圆心都在直线 $x - y + \frac{c}{2} = 0$ 上，则m+c=（）

A、-1 B、2 C、3 D、0

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6. 我们知道∶用平行于圆锥母线的平面（不过顶点）截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中， AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径， E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于（）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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7. 已知抛物线C∶y² = 8x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，则 $| A F | \cdot | B F | + \frac{128}{| A B |}$ 的最小值为（）

A、16 B、20 C、32 D、48

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8. 椭圆与双曲线共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，它们的交点 $P$ 对两公共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 张的角为 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ .椭圆与双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则（）

A、 $\frac{3}{4 e_{1}^{2}} + \frac{1}{4 e_{2}^{2}} = 1$ B、 $\frac{1}{4 e_{1}^{2}} + \frac{3}{4 e_{2}^{2}} = 1$ C、 $\frac{4 e_{1}^{2}}{3} + 4 e_{2}^{2} = 1$ D、 $4 e_{1}^{2} + \frac{4 e_{2}^{2}}{3} = 1$

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二、多选题

9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）

A、两条不重合直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方向向量分别是 $\vec{a} = (2, 3, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, - 3, 1)$ ，则 $l_{1} // l_{2}$ B、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量是 $\vec{u} = (6, 4, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、两个不同的平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别是 $\vec{u} = (2, 2, - 1)$ ， $\vec{v} = (- 3, 4, 2)$ ，则 $α ⊥ β$ D、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (0, 3, 0)$ ，平面 $α$ 的法向量是 $\vec{u} = (0, - 5, 0)$ ，则 $l // α$

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10. 若函数 $y = - \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ 的图象与直线x-2y+m=0有公共点，则实数m的可能取值为（）

A、 $- 2 \sqrt{5} - 1$ B、1 C、 $- 2 \sqrt{5} + 1$ D、2

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11. 等差数列{a_n }的前n项和记为S_n ，若a₁₅>0，a₁₆<0，则（）

A、a₁>0 B、d<0 C、前15项和S₁₅最大 D、从第32项开始，S_n<0

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12. 在如图所示的棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（）

A、若点P总满足 $P A ⊥ B D_{1}$ ，则动点P的轨迹是一条直线 B、若点P到点A的距离为 $\sqrt{2}$ ，则动点P的轨迹是一个周长为 $2 π$ 的圆 C、若点P到直线 $A B$ 的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆 D、若点P到直线 $A D$ 与直线 $C C_{1}$ 的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线

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三、填空题

13. 过点 $(1 ， 2)$ 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 $l$ 方程为.

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14. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₁的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF₂|＋|AF₂|的最小值为．

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15. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 3$ ，直线 $l$ ： $x \cos θ + y \sin θ = 1 (0 < θ < \frac{π}{2})$ ，设圆 $O$ 上到直线 $l$ 的距离等于1的点的个数为k，则 $k =$ .

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，PA⊥平面ABCD，BC $/ /$ AD， $∠ B A D = 90 °$ ， $P A = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面APD的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $△ A D Q$ 的面积的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1 ， 0)$ 和 $B (- 1 ， - 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $l$ ： $x - y + 1 = 0$ 上

(1)、求圆心为 $C$ 的圆的标准方程；

(2)、过点 $Q (1 ， 1)$ 作圆的切线，求切线方程．

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18. 如图，四棱锥P - ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC= PD=2，M，N分别为棱PC，AD的中点．

(1)、求证∶ BC⊥PD；

(2)、求异面直线BM与PN所成角的余弦值；

(3)、求点N到平面MBD的距离．

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19. 已知等差数列的前三项依次为 $a ， 4 ， 3 a ，$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{k} = 110$ .

(1)、求a及k的值；

(2)、设数列{b_n}的通项公式b_n＝ $\frac{S_{n}}{n}$ ，证明：数列{b_n}是等差数列，并求其前n项和T_n.

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20. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 过点 $M (m ， 2)$ ，且 $M$ 到抛物线焦点的距离为2.直线 $l$ 过点 $Q (2 ， - 2)$ ，且与抛物线相交于 $A$ ， $B$ 两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若点 $Q$ 恰为线段 $A B$ 的中点，求 $| A B |$ .

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21. 正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B．

（I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（II）求二面角E—DF—C的余弦值；

（III）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．

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22. 已知①如图，长为 $2 \sqrt{3}$ ，宽为 $\frac{1}{2}$ 的矩形 $A B C D$ ，以 $A$ ､ $B$ 为焦点的椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 恰好过 $C D$ 两点

②设圆 ${(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ 的圆心为 $S$ ，直线 $l$ 过点 $T (\sqrt{3} ， 0)$ ，且与 $x$ 轴不重合，直线 $l$ 交圆 $S$ 于 $C D$ 两点，过点 $T$ 作 $S C$ 的平行线交 $S D$ 于 $M$ ，判断点 $M$ 的轨迹是否椭圆

(1)、在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)、根据（1）所得椭圆 $M$ 的标准方程，过椭圆 $M$ 右焦点 $F$ 作与坐标轴都不垂直的直线 $l$ 交椭圆 $P Q$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在点 $S$ ，使得 $\vec{S P} \cdot \vec{S Q}$ 为定值.

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