新疆昌吉教育体系2022届高三上学期理数第四次诊断测试试卷

试卷更新日期：2022-02-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(2 ， - 1)$ ，则 $\frac{2 z}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、-1 C、1 D、3

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2. 设p： $l o g_{2} x < 1$ ， $q$ ： $x < 2$ ，则p是q成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y + 2 \leq 0 \\ x + y + 4 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、0 B、2 C、4 D、6

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4. 函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若向量 $\vec{a} = (2 ， - 1) ， \vec{b} = (- 3 ， 2)$ ，则 $3 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $3 S_{n} = 2 a_{n} - 3 n$ ，则 $a_{2020}$ =（）

A、 $2^{2020} - 1$ B、 $3^{2020} - 6$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{2020} - \frac{7}{2}$ D、 ${(\frac{1}{3})}^{2020} - \frac{10}{3}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、8 $\sqrt{3}$ B、4 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 2$ 关于直线 $l ： x - y + 1 = 0$ 对称的圆的方程为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 2$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 2$

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9. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上偶函数，且 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上的单调递增，若 $f (2) = - 2$ ，则满足 $f (x - 1) \geq - 2$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1] \cup [3 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 3]$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [2 ， + \infty)$

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10. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、(－∞，0) B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、(0，1) D、(0，＋∞)

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11. 函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像与直线 $y = a$ 在区间 $(0 ， \frac{7 π}{6})$ 上恰有三个交点，其横坐标分别为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{2 π}{3} ， \frac{5 π}{6})$ B、 $(\frac{5 π}{6} ， π)$ C、 $(π ， \frac{4 π}{3})$ D、 $(\frac{4 π}{3} ， \frac{3 π}{2})$

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12. 已知正方形 $A B C D$ 的内切圆的半径为1，点M是圆上的一动点，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 0]$ B、 $[- 1 ， 3]$ C、 $[0 ， 3]$ D、 $[- 1 ， 4]$

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二、填空题

13. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为．

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14. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P A = A C = 2$ ，且该三棱锥所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.

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15. 已知直线l的方程为 $(2 - m) x + (2 m + 1) y + 3 m + 4 = 0$ ，其中 $m \in R$ 求出当m变化时，点 $Q (3 ， 4)$ 到直线l的距离的最大值为．

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16. 设锐角 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 2$ ， $b \sin A = \sqrt{3}$ ， $c = 3$ ，则 $b =$ ．

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $2 b \sin A \cos B = (2 c - b) \sin B$

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $\cos B + \cos C$ 的取值范围.

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18. 已知 $O$ 为坐标原点， $\vec{O A} = (2 \cos x ， \sqrt{3})$ ， $\vec{O B} = (\sin x + \sqrt{3} \cos x ， - 1)$ ，若 $f (x) = \vec{O A} \cdot \vec{O B} + 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 1 ， a_{2} + b_{2} = 6 ， a_{3} + b_{3} = 14$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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20. 如图所示的几何体是由棱台ABC－A₁B₁C₁和棱锥D－AA₁C₁C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB₁⊥平面ABCD，BB₁=B₁C₁=1.

(1)、求证：平面AB₁C⊥平面BB₁D；

(2)、求二面角A₁-BD-C₁的余弦值.

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21. 如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形， $△$ SAD为等腰直角三角形，SA=SD= $2 \sqrt{2}$ ，AB=2，F是BC的中点，二面角S−AD−B的大小等于120°.

(1)、在AD上是否存在点E，使得平面SEF⊥平面ABCD，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由.

(2)、求直线SA与平面SBC所成角的正弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - \ln x$ （ $a > 0$ ， $b \in R$ ）.

(1)、设 $a = 1$ ， $b = - 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x = 1$ 是函数的极值点.证明： $2 b + \ln a < 0$ .

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