天津市两校联考2021-2022学年高二上学期数学第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2022-02-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a}$ ＝(－2，x，2)， $\vec{b}$ ＝(2，1，2)， $\vec{c}$ ＝(4，－2，1)，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{c})$ ，则x的值为（）

A、－2 B、2 C、3 D、－3

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2. 点 $(- 1, 0)$ 到直线 $x + y - 1 = 0$ 的距离是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知两直线l₁：x＋my＋6＝0，l₂：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l₁∥l₂ ，则m为（）

A、－1 B、3 C、－1或3 D、0

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4. 与 $x$ 轴相切，且圆心坐标为 $(- 2 ， 3)$ 的圆的标准方程为（）

A、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ C、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$

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5. 点 $(3 ， 9)$ 关于直线 $x + 3 y - 10 = 0$ 对称的点的坐标是（）

A、 $(- 1 ， - 3)$ B、 $(17 ， - 9)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(- 17 ， 9)$

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6. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ，则 $N ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，则圆M与圆N的公切线条数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 直线 $x + 4 y + m = 0$ 交椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + y^{2} = 1$ 于 $A 、 B$ 两点，若线段 $A B$ 中点的横坐标为1，则m=（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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8. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $A (x_{0} ， y_{0})$ 在圆 $C_{1}$ 上，则 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - 4 x_{0}$ 的最大值为（）

A、-2 B、-1 C、5 D、9

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 、 $A B E F$ 的边长都是 $1$ ，而且平面 $A B C D$ 、 $A B E F$ 互相垂直，点 $M$ 在 $A C$ 上移动，点 $N$ 在 $B F$ 上移动，若 $C M = B N = a$ （ $0 < a < \sqrt{2}$ ），则 $M N$ 的长的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

10. 两直线3x+4y－2=0与6x+8y－5=0之间的距离等于．

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11. 求经过点M(2， $2 \sqrt{3}$ )且与圆x²＋y²=4相切的直线的方程为．

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12. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (2 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ， $P$ 是平面内一动点，直线 $P A$ 、 $P B$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，则动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程.

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13. 过圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y - 4 = 0$ 与 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 0$ 的交点，且圆心在直线 $l ： 2 x + 4 y - 1 = 0$ 上的圆的方程是．

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， P为椭圆上一点，且 $\vec{P F_{1}} \cdot (\vec{O F_{1}} + \vec{O P}) = 0$ （O为坐标原点）.若 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则椭圆的离心率为．

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15. 已知直线 $l ：$ 3x＋4y＋6＝0，点Q为圆(x－2)²＋(y－2)²＝4上的动点，则Q到直线 $l$ 的距离的的最小值为，最大值为．

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三、解答题

16. 在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 三个顶点坐标分别为 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $C (0 ， - 4)$ ，经过这三个点的圆记为 $M$ ．

(1)、求 $B C$ 边的中线所在直线的一般式方程；

(2)、求圆 $M$ 的一般方程．

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17. 已知直线 $l$ 经过两条直线 $2 x - y - 3 = 0$ 和 $4 x - 3 y - 5 = 0$ 的交点，且与直线 $x + y - 2 = 0$ 垂直．

(1)、求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、若圆 $C$ 的圆心为点 $(3 ， 0)$ ，直线 $l$ 被该圆所截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，求圆 $C$ 的标准方程．

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18. 已知长轴长为 $8$ ，短轴长为 $6$ ，焦点在 $x$ 轴上的椭圆，过它的左焦点 $F_{1}$ 作倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求椭圆的标准方程.

(2)、求弦 $A B$ 的长.

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19. 四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形，且 $P A = A B = 2$ ， $A D = 3$ ， $E$ 是线段 $B C$ 上的动点， $F$ 是线段 $P E$ 的中点.

(1)、求证： $P B ⊥$ 平面 $A D F$ ；

(2)、若直线 $D E$ 与平面 $A D F$ 所成角为 $30^{\circ}$ ，
①求线段 $C E$ 的长；

②求二面角 $P - E D - A$ 的余弦值.

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20. 已知：点 $A (1 ， \sqrt{2})$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆 $C$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的一点．斜率为 $\sqrt{2}$ 的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

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