山东2021-2022学年高三上学期数学12月名校大联考试卷

试卷更新日期：2022-02-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | 1 \leq x < 5}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 1 ， 2)$ B、 $[- 1 ， 3]$ C、 $[- 1 ， 5)$ D、 $[1 ， 3]$

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2. 若复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i} + 1$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、-i C、1 D、-1

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3. 若 $a = \log_{3} 2 ， b = \log_{5} 2 ， c = e^{0.2}$ ，则 $a ， b ， c$ 为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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4. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（）

A、9寸 B、7寸 C、8寸 D、3寸

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5. 如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）

A、 $y = | x | \sqrt{4 - x^{2}}$ B、 $y = x \sqrt{4 - x^{2}}$ C、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 | x |}$ D、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x}$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 e^{x - 1} ， x < 1 \\ x^{3} + x ， x ⩾ 1 \end{array}$ 则f[f(x)]<2的解集为（）

A、(1－ln2，＋∞) B、(－∞，1－ln2) C、(1－ln2，1) D、(1，1＋ln2)

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7. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $A ， B$ 是椭圆上关于 $x$ 轴对称的两点， $A F_{2}$ 的中点 $P$ 恰好落在 $y$ 轴上，若 $\vec{B P} \cdot \vec{A F_{2}} = 0$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = 3^{x} - 1$ ，则使不等式 $f (e^{x} - 3 e^{- x}) < \frac{8}{9}$ 成立的x的取值范围是（）

A、 $(\ln 3 ， + \infty)$ B、 $(0 ， \ln 3)$ C、 $(- \infty ， \ln 3)$ D、 $(- 1 ， 3)$

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二、多选题

9. 下列说法中错误的是（）

A、已知 $\vec{a} = (1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 6)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可以作为平面内所有向量的一组基底 B、直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 2)$ ，直线 $m$ 的方向向量为 $\vec{b} = (2 ， 1 ， - \frac{1}{2})$ ，则 $l$ 与 $m$ 垂直 C、若两非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、平面直角坐标系中， $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (5 ， 0)$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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10. 若 $a$ ， $b$ 为正实数，则 $a > b$ 的充要条件为（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $\ln a > \ln b$ C、 $b \ln a < a \ln b$ D、 $a - b < e^{a} - e^{b}$

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11. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x - \cos ω x (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（）

A、在 $(0 ， π)$ 上存在 $x_{1} ， x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 4$ B、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有2个最大值点 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{13}{6} ， \frac{19}{6})$

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12. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折成△ $A_{1} D E$ ．若 $M$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，则在 $△ A D E$ 翻折过程中，下面四个命题中正确的是（）

A、 $| B M |$ 是定值 B、点 $M$ 运动轨迹在某个圆周上 C、存在某个位置，使 $D E ⊥ A_{1} C$ D、 $A_{1}$ 不在底面 $B C D$ 上时，则 $M B / /$ 平面 $A_{1} D E$

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三、填空题

13. 已知 $\sin (θ - \frac{π}{3}) = 3 \cos (θ - \frac{π}{6})$ ，则 $\tan 2 θ =$

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是．

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15. 能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是．

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16. 复印纸幅面规格采用 $A$ 系列，其幅面规格为：① $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， \dots ， A_{9}$ 所有规格的纸张的幅宽（以 $x$ 表示）和长度（以 $y$ 表示）的比例关系都为 $x ： y = 1 ： \sqrt{2}$ ；②将 $A_{1}$ 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 $A_{2}$ 规格； $A_{2}$ 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 $A_{3}$ 规格； $\dots$ ；如此对开至 $A_{9}$ 规格，现有 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， \dots ， A_{9}$ 纸各一张，若 $A_{5}$ 纸的幅宽为 $2 dm$ ，则 $A_{1}$ 纸的面积为 ${dm}^{2}$ ，这9张纸的面积之和等于 ${dm}^{2}$ ．

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四、解答题

17. 下面问题的条件① $B A = 3$ ，② $B C = \sqrt{7}$ ，③ $B D = \sqrt{7}$ ，④ $∠ A = 60 °$ 有多余，现请你在① $B A = 3$ ，④ $∠ A = 60 °$ 中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题．
已知 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A C$ 边的中点，你删去的条件是_____请写出用剩余条件解答本题的过程．

注：如果选择删去条件①和条件④分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、 $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，求 $A E$ 的长．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + n^{2} = n (a_{n} + 1)$ ，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n}^{2} \cos \frac{n π}{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前100项和 $T_{100}$ ．

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19. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面 $A B F E$ 和 $C D E F$ 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面 $E A D$ 和 $F B C$ 是全等的三角形，点 $F$ 在平面 $A B C D$ 和 $B C$ 上射影分别为 $H$ ， $M$ ，已知 $H M = 5$ m， $B C = 10$ m，梯形 $A B F E$ 的面积是 $△ F B C$ 面积的2.2倍．设 $∠ F M H = θ (0 < θ < \frac{π}{4})$ ．

(1)、求屋顶面积 $S$ 关于 $θ$ 的函数关系式．

(2)、已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为 $k (k > 0)$ ，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为 $16 k$ ．现欲造一栋总高度为 $6$ m的别墅，试问：当 $θ$ 为何值时，总造价最低？

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20. 如图1，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点，将正方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为 $60^{°}$ ，点 $M$ 在线段 $A B$ 上（包含端点）运动，连接 $A D$ ．

(1)、若 $M$ 为 $A B$ 的中点，直线 $M F$ 与平面 $A D E$ 的交点为 $O$ ，试确定点 $O$ 的位置，并证明直线 $O D //$ 平面 $E M C$ ；

(2)、是否存在点 $M$ ，使得直线 $D E$ 与平面 $E M C$ 所成的角为 $60 °$ ？若存在，确定出 $M$ 点位置；若不存在，请说明理由．

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21. 2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示， $A$ 、 $B$ 两个信号源相距10米， $O$ 是 $A B$ 的中点，过 $O$ 点的直线 $l$ 与直线 $A B$ 的夹角为 $4 5^{∘}$ ，机器猫在直线 $l$ 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到 $A$ 点的信号比接收到 $B$ 点的信号晚 $\frac{8}{v_{0}}$ 秒（注：信号每秒传播 $v_{0}$ 米）.在时刻 $t_{0}$ 时，测得机器鼠距离 $O$ 点为 $4$ 米.

(1)、以 $O$ 为原点，直线 $A B$ 为 $x$ 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻 $t_{0}$ 时机器鼠所在位置的坐标；

(2)、游戏设定：机器鼠在距离直线 $l$ 不超过 $1.5$ 米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

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22. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3 \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{6} x^{3} + x^{2} - a \ln x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、已知 $F (x) = g (x) - \frac{1}{6} x^{3}$ 的两个零点为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $x_{0}$ 为 $F (x)$ 的唯一极值点．
①求实数 $a$ 的取值范围；

②求证： $x_{1} + 3 x_{2} > 4 x_{0}$ ．

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