江西省上饶市广丰区2021-2022学年高一上学期数学第三次月考试卷

试卷更新日期：2022-02-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若 $a = \log_{3} 2$ ， $b = \log_{π} 3$ ， $c = \log_{8} 5$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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2. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳 $14$ 含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（）个“半衰期”.（参考数据 $2^{13} = 8192$ ）

A、15 B、14 C、13 D、12

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3. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{x}{y + 1}$ 的最小值为（）．

A、 $\frac{1}{2} + \frac{5 \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln (- x) | ， x < 0 ， \\ x^{2} - 4 x + 1 ， x \geq 0 \end{array}$ .若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 是方程 $f (x) = t$ 的四个互不相等的解，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围是（）

A、 $[6 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $(4 - e - \frac{1}{e} ， 2]$ D、 $[4 - e - \frac{1}{e} ， 2)$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \log_{2} x ， x \geq 1 \\ \frac{1}{1 - x} ， x < 1 \end{matrix}$ ，则不等式 $f (x) < 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， 0) \cup [1 ， 2)$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $(- \infty ， 0] \cup [1 ， 2)$

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6. 设集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2 ， 4 ， 5}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ， $C = {x \in Z | 1 \leq x < 3}$ ，则 $(A \cap B) \cup C =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${2 ， 4}$ C、 ${1 ， 2 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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7. 如图所示为函数 $f (x) = a x + b$ 的图象，则函数 $g (x) = x^{2} + a x + b$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 采用简单随机抽样抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表：

分组	[10，20)	[20，30)	[30，40)	[40，50)	[50，60)	[60，70)
频数	2	3	x	5	y	2

已知样本数据在区间[20，40)内的频率为0.35，则样本数据在区间[50，60)内的频率为（）

A、0.70 B、0.50 C、0.25 D、0.20

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二、多选题

9. 若 $a > b > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ B、 $\ln a > \ln b$ C、 $\frac{a - b}{a + b} < \ln \frac{b}{a}$ D、 $\frac{e^{a} + e^{b}}{2} > e^{\frac{a + b}{2}}$

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10. 下列函数为奇函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ B、 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 3 x ， & x < 0 \\ x^{2} + 3 x ， & x > 0 \end{array}$ C、 $f (x) = \frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{1}{2}$ D、 $f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = | x + 1 | + | x - 1 |$ 是偶函数 B、 $g (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{| x + 2 | - 2}$ 是奇函数 C、 $y = \frac{x^{3} + x^{2}}{x + 1}$ 是偶函数 D、 $f (x) = | x + 1 | - | x - 1 |$ 是奇函数

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12. 下列各组函数不是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x - 1}$ 与 $g (x) = x + 1$ B、 $f (x) = \sqrt{- 2 x^{3}}$ 与 $g (x) = x \cdot \sqrt{- 2 x}$ C、 $f (x) = x + 2$ 与 $g (t) = \sqrt[3]{t^{3}} + 2$ D、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ 与 $g (x) = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 2}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = e^{- x} - e^{x}$ ，若对任意的 $x \in [1 ， 2]$ ， $f (x^{2} + 4) + f (- 2 a x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 函数 $y = \frac{1}{\log_{2} \sqrt{x + 1}}$ 的单调递减区间是．

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15. 若函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} (a > 0 ， b > 0 ， a \neq 1 ， b \neq 1)$ 是偶函数，则 $a b =$ ．

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16. 已知 $α$ 、 $β$ 是 $x^{2} - 12 x + 2 = 0$ 的两个实根，则 $\log_{4} (\frac{1}{α} + \frac{1}{β}) - \log_{4} (α β + 1)$ 的值为.

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四、解答题

17.

(1)、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $2 x + 8 y - x y = 0$ ，求 $x + y$ 的最小值，及此时x、y的值；

(2)、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $2 x + 8 y - x y = 0$ ，求 $x y$ 的最小值，及此时x、y的值．

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18. 某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场.如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮，已知塑胶跑道每平方米造价为150元草皮每平方米造价为30元设半圆的半径 $O A = r$ 米．

(1)、求塑胶跑道面积S与r的函数解析式；

(2)、求运动场造价y（元）与r的函数解析式．

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19. 已知 $f (x) = x + \frac{1}{x} .$

(1)、解关于 $x$ 的不等式： $f (| x |) + | f (x) | > 6$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[1 ， 4]$ ，有 $k \frac{f (x)}{x} + f (x^{2}) + 1 \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 已知幂函数 $f (x) = x^{- 2 m^{2} + m + 3} (m \in Z)$ 是偶函数，且 $f (1) < f (2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的表达式

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + \sqrt{f (x)} - a$ 在 $[1 ， 2]$ 与 $x$ 轴有交点，求实数 $a$ 的取值范围.

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21.

(1)、 $81^{\frac{3}{4}} - {(\frac{2}{\sqrt{3} - 1})}^{0} + {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{16}{9})}^{- 0.5}$

(2)、 $\log_{3} 9 + \lg \frac{2}{5} - \lg 4 + 3^{1 + \log_{3} 5}$ ．

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22. 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．

(1)、第二小组的频率是多少？样本量是多少？

(2)、若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？

(3)、样本中不达标的学生人数是多少？

(4)、第三组的频数是多少？

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