江苏省扬州市高邮市2021-2022学年高三上学期数学12月学情调研试卷

试卷更新日期：2022-02-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 3}{x - 2} \leq 0 ， x \in R}$ ， $B = {x | 2 \leq x \leq 4 ， x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2 ， 3]$ B、 $(2 ， 3]$ C、 ${2 ， 3}$ D、{3}

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2. “m=-2”是“直线l₁： mx+4y+4=0与直线l₂： x+my+1=0平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知向量 $\vec{a}$ =(3，2)， $\vec{b}$ =(2m-1，3)，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数m=（）

A、 $\frac{11}{4}$ B、5 C、 $\frac{7}{2}$ D、1

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4. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1( $a > b > 0$ )的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为6，则椭圆的焦距为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、8 C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{5} - a_{3} = 8$ ， $a_{6} - a_{4} = 24$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、3 B、-3 C、1 D、-1

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6. 我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是 $f (x) =$ （）

A、 $\frac{1}{| x - 1 |}$ B、 $\frac{1}{| | x | - 1 |}$ C、 $\frac{1}{1 - x^{2}}$ D、 $\frac{1}{1 + x^{2}}$

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7. 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（）

A、 $\sqrt{5} π ： 6$ B、 $\sqrt{6} π ： 2$ C、 $π ： 2$ D、 $5 π ： 12$

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8. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c} ，$ 满足 $| \vec{a} |$ = $| \vec{c} |$ =1， $| \vec{b} |$ = $\sqrt{7} ， \vec{a} \cdot \vec{c}$ = $\frac{1}{2}$ ，若 $\vec{a} + \vec{b}$ =λ $\vec{c}$ ( $λ \in R$ )，则 $λ =$ （）

A、3 B、-2 C、3或-2 D、-3或2

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9. 已知实数 $a ， b ， c \in (0 ， e)$ ，且 $2^{a} = a^{2}$ ， $3^{b} = b^{3}$ ， $5^{c} = c^{5}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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二、多选题

10. 已知i为虚数单位，复数z满足 $z (2 + i) = i^{10}$ ，则下列说法正确的是（）

A、复数z的虚部为 $\frac{1}{5} i$ B、复数z的共轭复数为 $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ C、复数z模为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、复数z在复平面内对应的点在第二象限.

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11. 已知正实数a，b满足a+b=2，则下列不等式恒成立的是（）

A、ab≤1 B、 $\frac{1}{a}$ + $\frac{2}{b}$ ≥3+2 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ ≥ $\sqrt{2}$ D、lnalnb≤0

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12. 已知互不相同的两条直线 $m ， n$ 和两个平面 $α ， β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m // n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n // β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α // β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n // β$ ，且 $m // n$ ，则 $α ⊥ β$

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13. 下列关于 $L$ 型椭圆C： $x^{2} + \frac{y^{4}}{16} = 1$ 的几何性质描述正确的是（）

A、图形关于原点成中心对称 B、 $- 4 \leq y \leq 4$ C、其中一个顶点坐标是 $(0 ， - 2)$ D、曲线上的点到原点的距离最大值为2

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三、填空题

14. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线l： $y = k x - k + 1 ， (k \in R)$ ，则直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的最短弦长为

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15. 已知 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\sin α =$

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16. 甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P，乙胜的概率为1-p，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为 $\frac{8}{27}$ .现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X的数学期望为

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17. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)= lnx的图象上的动点，该图象在P处的切线l交x轴于点M，过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{6} ， π]$ 时，求 $g (x)$ 值域.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点到左、右焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 的距离之和为4，且右顶点A到右焦点 $F_{2}$ 的距离为1.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $y = k x$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，记 $△ M N A$ 的面积为 $S$ ，当 $S = 3$ 时求 $k$ 的值.

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20. 设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n满足4S_n=(a_n +1)²

(1)、证明数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot 3^{n}}$ 的前n项和T_n

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21. 击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件)；另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x与组内女性人数y统计结果如表： .

x

1

2

3

4

5

y

2

2

3

4

4

(1)、女性人数与组号x (组号变量x依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数；
（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

(2)、在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X组，求X的分布列与期望.

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22. 已知在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1 ， B D = 2$ ， $B C = \sqrt{19}$ ， $D B$ 为 $∠ A D C$ 的角平分线

(1)、若 $\cos A = \frac{1}{4}$ ，求 $△ B D C$ 的面积；

(2)、若 $C D - A D = 4$ ，求 $C D$ 长.

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23. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面为矩形，平面 $A A_{1} D_{1} D$ ⊥平面 $C_{1} C D D_{1}$ ，且 $C C_{1} = C D = D D_{1} = \frac{1}{2} C_{1} D_{1} = 2$ .

(1)、证明： $A_{1} D_{1} ⊥$ 面 $C C_{1} D_{1} D$

(2)、若 $A_{1} C$ 与平面 $C C_{1} D_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，求锐二面角 $C - A A_{1} - D$ 的余弦值.

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24. 已知函数 $f (x) = x e^{m x}$ (其中 $e$ 为自然对数的底数)

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $m = 1$ 时，若 $f (x) \geq \ln x + a x + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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