湖南省五市十校2021-2022学年高一上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-02-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x + 2 = 0 ， x \in R} ， B = {1 ， 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{1} B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 3}$ ，

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2. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (- 1 ， \sqrt{3})$ ，则 $\sin (\frac{3 π}{2} - α) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 不等式 $a x^{2} + x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则 $\sqrt{a^{2}} - 1 =$ （）

A、1 B、0 C、-1 D、-2

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4. 设 $a > 0$ ，则 $2 a + \frac{a + 2}{a}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{a + 4}$ B、2 C、4 D、5

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5. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{2021})}^{| x |}$ 的值域是（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， + \infty)$

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6. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = | x - m | (m$ 为实数）为偶函数，记 $a = f (\log_{0.5} 3)$ ， $b = f (\log_{2} 5)$ ， $c = f (2 m)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数f(x)满足 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = 2 ， f (2) = 4$ ，则不等式 $f (x) - 2 x > 0$ 的解集为（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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8. 已知函数 $f (x) = e^{- x} - e^{x} - 3 x^{3} - 5 x + 5$ .若 $f (a)$ $+ f (a - 4) < 10$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < 1$ B、 $a < 2$ C、 $a > 1$ D、 $a > 2$

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二、多选题

9. 下列命题中为真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{a}{b} > 1$ B、若 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$ C、若 $c > a > b > 0$ ，则 $\frac{c - a}{a} < \frac{c - b}{b}$ D、若 $a > b$ .则 $a^{3} > b^{3}$

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10. 已知 $θ \in (0 ， π)$ ， $\sin θ - \cos θ = \frac{7}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (\frac{π}{2}$ ， $π)$ B、 $\cos θ = - \frac{3}{5}$ C、 $\tan θ = - \frac{3}{4}$ D、 $\frac{\tan θ}{1 + \tan^{2} θ} = - \frac{12}{25}$

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11. 如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（）

A、野生水葫芦的面积每月增长率为1 B、野生水葫芦从 $4 m^{2}$ 蔓延到 $12 m^{2}$ 历时超过1.5个月 C、设野生水葫芦蔓延到 $10 m^{2}$ ， $20 m^{2}$ ， $30 m^{2}$ 所需的时间分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ，则有 $t_{1} + t_{3} < 2 t_{2}$ D、野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度

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12. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对于任一给定的正数 $p$ ，定义函数 $f_{p} (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， f (x) ⩽ p ， \\ p ， f (x) > p ， \end{array}$ 则称 $f_{p} (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $p$ 界函数”.若函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ ，则下列结论：
① $f_{2}$ （2） $= 2$ ；② $f_{2} (x)$ 的值域为 $[- 2$ ， $2]$ ；③ $f_{2} (x)$ 在 $[- 1$ ， $1]$ 上单调递减；

④函数 $y = f_{2} (x + 1)$ 为偶函数.其中正确的结论有（）

A、① B、② C、③ D、④

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三、填空题

13. 亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为.

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14. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 的图象关于原点对称，则满足 ${(a + 1)}^{m} > {(3 - 2 a)}^{m}$ 成立的实数a的取值范围为.

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15. 设 $p$ ：实数 $x$ 满足 $(x - 3 a) (x - a) < 0$ ， $q$ ：实数 $x$ 满足 $\frac{x + 3}{x + 2} ⩽ 0$ .当 $a < 0$ 时，若 $p$ 是 $q$ 的必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 2 ， (x ⩾ 0) ， \\ \log_{2} (x + 2) + 1 ， (- 2 < x < 0) ， \end{array}$ 若实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $2 x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $f (α) = \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} + \sqrt{\frac{1 + \cos α}{1 - \cos α}}$ ，其中 $α$ 是第三象限角.

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = 4$ ，求 $\sin α$ ， $\cos α$ .

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18. 已知集合 $A = {x | x = k + 1$ ， $k < 2$ ， $k \in N}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 2 (a + 1) x + a^{2} - 5 = 0$ ， $x \in R}$ .

(1)、若集合 $A \cap B = {2}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{3 x + b}{a x^{2} + 4}$ 是定义在区间 $(- 2 ， 2)$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{3}{5}$ .

(1)、用定义法证明函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 2)$ 上单调递增；

(2)、设 $g (x) = f (x) + 1$ ，求证： $g (x) + g (- x)$ 是偶函数， $g (x) - g (- x)$ 是奇函数.

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 4 a x + b (a > 0)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最大值比最小值大3，且 $f (2) = - 3$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若在区间 $[- 1 ， 1]$ 上，不等式 $f (x) > - x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处占地面积为 $640 m^{2}$ 的矩形隔离病区，拟划分6个工作区域，布局示意图如下．根据防疫要求，所有内部通道（示意图中细线部分）的宽度为 $2 m$ ，整个隔离病区内部四周还要预留宽度为 $3 m$ 的半污染缓冲区（示意图中粗线部分），设隔离病区北边长 $x m$ ．

(1)、在满足防疫要求的前提下，将工作区域的面积表示为北边长 $x$ 的函数 $f (x)$ ，并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、若平均每个人隔离所需病区面积为 $2.5 m^{2}$ ，那么北边长如何设计才能使得病区同时隔离的人数最多，并求出同时隔离的最多人数．（ $\sqrt{2} \approx 1.4$ ，结果精确到整数）

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{2} [k \cdot 4^{x} - (k - 1) 2^{x} + k + \frac{1}{2}]$ .

(1)、是否存在 $k < 0$ ，使得函数 $f (x)$ 取最大值-1？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，请说明理由；

(2)、已知 $0 < k < 1$ ，若存在两个不同的正数 $a$ ， $b$ ，当函数 $f (x)$ 的定义域为 $[\begin{matrix} a ， b \end{matrix}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[a + 1 ， b + 1]$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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