湖南省名校联考联合体2021-2022学年高二上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-02-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 集合 $A = {n | \frac{12}{5 - n} \in N^{*} ， n \in Z}$ ，则集合A的元素有（）个.

A、4 B、5 C、6 D、7

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2. 若复数 $z = \frac{6 + λ i}{1 + 2 i}$ （ $λ \in R$ ，i为虚数单位）是纯虚数，则实数 $λ$ 的值为（）

A、3 B、-3 C、12 D、-12

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3. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次从高变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，问这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）

A、14 B、20 C、18 D、16

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4. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ 与 $\vec{b} = (t - 1 ， \frac{3}{2} t)$ ，的夹角为锐角，则t的取值范围为（）

A、 $(4 ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{1}{4} ， 4) \cup (4 ， + \infty)$

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5. “ $a > 0$ ”是“函数 $f (x) = (x - a) e^{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有极值”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{3 a^{2}} + \frac{y^{2}}{3 b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 有相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心率 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 分别为（）

A、 $e_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $e_{2} = \sqrt{3}$ B、 $e_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $e_{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $e_{1} = \frac{1}{2}$ ， $e_{2} = \sqrt{3}$ D、 $e_{1} = \frac{1}{3}$ ， $e_{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

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7. 在正四面体 $A B C D$ 中， $P$ 、 $Q$ 分别为棱 $B C$ 、 $A B$ 中点，则异面直线 $D P$ 与 $C Q$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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8. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上两点A、B满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ （O为坐标原点），且A、B分处对称轴的两侧，则直线AB过定点（）

A、（5，0） B、（1，0） C、（3，0） D、（2，0）

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二、多选题

9. 下列关于统计或概率的命题，正确的是（）

A、医院体检时抽取被检者血液进行分析，是抽样调查 B、某班进行综合素质打分，由于班级获得了市优秀班级，每人综合素质都加了5分，则加分前后，全班得分的方差不变 C、事件A、B互斥，则有 $P (A) = 1 - P (B)$ D、事件A、B相互独立，则有 $P (A B) = P (A) + P (B)$

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10. 已知直线 $l ： k x - y + 2 k = 0$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 9$ ，则（）

A、直线l恒过定点（2，0） B、存在k使得直线l与直线 $l_{0} ： x - 2 y + 2 = 0$ 垂直 C、直线l与圆O相交 D、若 $k = - 1$ ，直线l被圆O截得的弦长为 $2 \sqrt{7}$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} = S_{12}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、当 $n = 20$ 时， $S_{n} = 0$ B、当 $n = 10$ 时， $S_{n}$ 取得最大值 C、当 $d > 0$ 时， $a_{9} + a_{13} > 0$ D、当 $d < 0$ 时， $| a_{10} | > | a_{12} |$

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12. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为正方形 $A B C D$ 的中心， $P$ 为棱 $A A_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 为 $A A_{1}$ 中点时， $P O ⊥ D C_{1}$ B、点 $P$ 与点 $A$ 重合时，三棱锥 $P - B D C_{1}$ 外接球体积为 $\frac{2}{3} π$ C、当 $P$ 点运动时，三棱锥 $P - B D C_{1}$ 外接球的球心总在直线 $A_{1} C$ 上 D、当 $P$ 为 $A A_{1}$ 的中点时，正方体表面到 $P$ 点距离为2的轨迹的总长度为 $(\frac{4}{3} + \sqrt{3}) π$

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三、填空题

13. 已知 $a = \ln π$ ， $b = 2^{- 3.2}$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} 6$ ，则用“＜”连接这三个数应为.

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14. 过点 $(1 ， 3)$ 的直线分别交 $x$ 轴正半轴和 $y$ 轴正半轴于点 $A$ 、 $B$ ，则 $△ A O B$ （ $O$ 为原点）面积的最小值为.

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15. 阿波罗尼奥斯（Apollonius）（公元前262～公元前190），古希腊人，与欧几里得和阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》凭一己之力将圆锥曲线研究殆尽，致使后人没有任何可插足之地；直到17世纪，笛卡尔和费马的坐标系之后，数学家建立起了解析几何体系，圆锥曲线的研究才有了突破.阿波罗尼奥斯在他的著作里得到了这样的结论：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，也称阿氏圆.已知动点 $P$ 到点 $M (- 2 ， 0)$ 与到点 $N (1 ， 0)$ 的距离之比为2：1，则动点P的轨迹方程为.

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16. 函数 $y = \log_{\frac{1}{π}} (\sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x)$ 的单调递增区间为.

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四、解答题

17. 药物临床试验一般分为四期，每期都会征集一定量的志愿者参与试验.无论研究者或是受试者，知晓试验用药信息会对疗效安全性评价产生偏性评估.因此在临床试验中，盲法技术是为了避免主观因素对结果评定的影响，即将志愿者分组为试验组和对照组，分别给予有有效成分的药物和无有效成分的安慰剂，最后通过统计得到药物的客观效果.某药厂对一种新药进行二期试验，招募了100名志愿者参与，根据他们的年龄分布得到下面的频率分布直方图：

(1)、试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数.

(2)、A、B、C是参与此次试验的志愿者，他们被随机分配至试验组和对照组.实验组人数多于对照组，若A、B两人恰有一人分配到实验组的概率为 $\frac{12}{25}$ ，求实验组的人数，及三人中至少有2人分配到实验组的概率.

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18. 在△ABC中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 $c \cos B + b \cos C = \frac{a}{2 \cos A}$ .

(1)、求角 $A$ .

(2)、若 $b = 2 ， c = 3$ ，求 $a$ 边上的高 $A H$ .

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，满足 $T_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前n项和 $D_{n}$ ．

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20. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，侧棱PA垂直于底面，AB⊥AC，点E满足 $\vec{P E} = λ \vec{P D}$ ，且PB∥平面AEC.

(1)、求 $λ$ 的值.

(2)、若PA=AB=3，AC=2，在线段PB上是否存在点Q，使二面角Q—AC—E的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ？若存在，确定Q点的位置.若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + b x + c$ ， $g (x) = k x^{2} + 2$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点（2， $f (2)$ ）处的切线方程为 $x + 2 y - 2 - 2 \ln 2 = 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x \in [1 ， + \infty)$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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22. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）交 $x$ 轴于 $A ， B$ 两点， $P$ 是双曲线上异于 $A ， B$ 的任意一点，直线 $P A 、 P B$ 分别交 $y$ 轴于点 $M 、 N$ ， $\vec{A N} \cdot \vec{B M} = - 4$ ，且双曲线离心率为2.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线l： $y = k x + m$ （ $k m \neq 0$ ）与双曲线交于 $D 、 E$ 两点， $Q$ 为双曲线虚轴在 $y$ 轴正半轴的端点，若 $| Q D | = | Q E |$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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