湖南省名校联合体2021-2022学年高三上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-02-25 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {x \in Z | x^{2} < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1}$

查看试题解析
2. 若复数 $z = \frac{5}{2 - i^{3}}$ （i为虚数单位）则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{5 \sqrt{5}}{3}$

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{A B} = (2 ， 1) ， \vec{A C} = (a ， 4)$ ，若 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，则 $| \vec{B C} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

查看试题解析
4. 已知 $\frac{\cos (\frac{11 π}{2} - α)}{\cos (π + α)} = - 2$ ，则 $\frac{2 \sin α - \cos α}{\sin α + \cos α} =$ （）

A、-1 B、1 C、-5 D、5

查看试题解析
5. 1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金数（ $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ ）．泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，已知金字塔型正四棱锥 $P - A B C D$ 的底面边长约为656英尺，顶点P在底面上的投影为底面的中心O，H为线段BC的中点，根据以上信息， $P H$ 的长度（单位：英尺）约为（）

A、302.7 B、405.4 C、530.7 D、1061.4

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = \frac{x - \sin x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $(2 ， m)$ 到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线所围成的三角形面积为 $\sqrt{2}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

查看试题解析
8. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} = \frac{12}{5} ， a_{4} a_{5} = - \frac{2}{5}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}} + \frac{1}{a_{6}} + \frac{1}{a_{7}} + \frac{1}{a_{8}} =$ （）

A、-6 B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、2

查看试题解析

二、多选题

9. 已知二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（）

A、所有项的二项式系数和为128 B、所有项的系数和为1 C、二项式系数最大的项为第5项 D、有理项共3项

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{6}) - 1$ ，将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，向上平移2个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则以下结论正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最大值为1 B、函数 $g (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{7 π}{4} + 3 k π ， - \frac{π}{4} + 3 k π] (k \in Z)$ C、 $x = - \frac{π}{4}$ 是函数 $g (x)$ 的一条对称轴 D、 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 是函数 $g (x)$ 的一个对称中心

查看试题解析
11. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 21 = 0$ 和直线 $l ： k x - y + 3 - 4 k = 0$ ，则（）

A、直线l与圆C的位置关系无法判定 B、当 $k = 1$ 时，圆C上的点到直线l的最远距离为 $\sqrt{2} + 2$ C、当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时， $k = 0$ D、如果直线l与圆C相交于M、N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆

查看试题解析
12. 已知图1中，正方形 $E F G H$ 的边长为 $2 \sqrt{2}$ ，A、B、C、D是各边的中点，分别沿着 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 把 $△ A B F$ 、 $△ B C G$ 、 $△ C D H$ 、 $△ D A E$ 向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面 $A B C D$ 垂直，再顺次连接 $E F G H$ ，得到一个如图2所示的多面体，则（）

A、平面 $A E F ⊥$ 平面 $C G H$ B、直线 $A F$ 与直线 $C G$ 所成的角为 $60 °$ C、多面体 $A B C D - E F G H$ 的体积为 $\frac{6 + 2 \sqrt{2}}{3}$ D、直线 $C G$ 与平面 $A E F$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = {log}_{2} (1 - x)$ ，则 $f (3) =$ .

查看试题解析
14. 从下图12个点中任取三个点则所取的三个点能构成三角形的概率为．

查看试题解析
15. 某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 $6 \sqrt{3}$ 的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为 $6 π$ ，则该球的半径是．

查看试题解析
16. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x ， - 3 \leq x < 0 ， \\ \ln \frac{1}{x + 1} ， 0 \leq x \leq 3. \end{array}$

(1)、函数 $f (x)$ 的零点个数为个；

(2)、若 $g (x) = | f (x) | - a x - a$ 的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1} = 2 ， S_{7} = 4 (a_{2} + a_{5})$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2 a_{n} + 2^{a_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

查看试题解析
18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 S = \sqrt{3} \vec{B A} \cdot \vec{B C}$ （其中S为 $△ A B C$ 的面积）．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 4$ ，求a的取值范围．

查看试题解析
19. 某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙笔试部分每环节通过的概率依次为 $\frac{2}{3} ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{3}$ ，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，乙面试部分每个环节通过的概率依次为 $\frac{3}{4} ， \frac{2}{3}$ ．若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该电视台的节目主持人．甲、乙两人通过各个环节相互独立．

(1)、求乙能参与面试的概率；

(2)、记甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望．

查看试题解析
20. 如图，已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， $A_{1} A = 4$ ，且 $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $P ， Q$ 分别在棱 $D D_{1}$ 、 $B C$ 上·

(1)、若P是 $D D_{1}$ 的中点，证明： $A B_{1} ⊥ P Q$ ；

(2)、若 $P Q / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，二面角 $P - Q D - A$ 的余弦值为 $\frac{4}{9}$ ，求四面体 $A D P Q$ 的体积．

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左、右两个顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ， $T$ 为直线 $l ： x = 4$ 上的动点，且 $T$ 不在 $x$ 轴上，直线 $T A_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $M$ ，直线 $T A_{2}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ， $F$ 为椭圆 $C$ 的左焦点，求证： $△ F M N$ 的周长为定值．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a (\frac{\ln x}{x} + 1)$ ，（其中a为非零实数）．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = e^{x} - f (x)$ （e为自然对数的底数）有两个零点．
①求实数a的取值范围；

②设两个零点分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2 - (x_{1} + x_{2})}$ ．

查看试题解析