初中数学北师大版八年级下册第四章因式分解全章测试

试卷更新日期：2022-02-25 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $(x + 1) (x - 2) = x^{2} - x - 2$ B、 $x^{2} - x - 2 = x (x - 1) - 2$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2}$ D、 $x - 1 = x (1 - \frac{1}{x})$

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2. 多项式 $a^{2} - 2 a$ 的公因式是（）

A、 $a$ B、 $a^{2}$ C、2 $a$ D、 $- 2 a$

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3. 下列多项式：① $x^{2} + y^{2}$ ；② $- x^{2} - 4 y^{2}$ ；③ $- 1 + a^{2}$ ；④ $b^{2} - a^{2}$ ，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 若长和宽分别是 $a ， b$ 的长方形的周长为10，面积为4，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为（）

A、14 B、16 C、20 D、40

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5. 若一个等腰三角形的两边m，n满足9m²-n²=-13，3m+n=13，则该等腰三角形的周长为（）

A、11 B、13 C、16 D、11或16

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6. 已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a²+b²+c²—ab－bc－ca的值等于（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 已知△ABC的三边a，b，c满足 $a^{2} + b + | \sqrt{c - 1} - 2 | = 10 a + 2 \sqrt{b - 4} - 22$ ，则△ABC为（）.

A、钝角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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8. 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）= $\frac{p}{q}$ .例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= $\frac{3}{4}$ .如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”.根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）= $\frac{3}{4}$ ；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为 $\frac{3}{4}$ . （）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 分解因式：3m²﹣48＝．

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10. 若a²﹣3a＝﹣2，则代数式1+6a﹣2a²的值为．

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11. 4x²-(k-1)x+1能用完全平方公式因式分解，则k的值为

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12. 在○处填入一个整式，使关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + ◯ + 1$ 可以因式分解，则○可以为．（写出一个即可）

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13. 甲、乙两个同学分解因式x²+ax+b时，甲看错了b ，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a ，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x²+ax+b分解因式的正确结果为．

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14. 在实数范围内因式分解： $x^{2} - 3 x - 2 =$ ．

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15. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x⁴-y⁴ ，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x²+y²)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x²+y²)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x³-xy² ，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是(写出一个即可).

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16. 已知 $m, n, p$ 为实数，若 $x - 1, x + 4$ 均为多项式 $x^{3} + m x^{2} + n x + p$ 的因式，则 $2 m - 2 n - p + 86 =$ .

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三、计算题

17.

(1)、计算题：
①（a²）³•（a²）⁴÷（a²）⁵
②（x﹣y+9）（x+y﹣9）

(2)、因式分解
①﹣2a³+12a²﹣18a
②（x²+1）²﹣4x² ．

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四、解答题

18. 试说明对于任意自然数n，代数式n（n+7）-n（n-5）+6的值都能被6整除。

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19. 已知a、b、c是 $Δ A B C$ 的三边，a、b使等式 $a^{2} + b^{2} - 4 a - 8 b + 20 = 0$ 成立，且c是偶数，求 $Δ A B C$ 的周长.

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20. 在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如 $x^{4} - y^{4} = (x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ ，当 $x = 9 ， y = 9$ 时， $x - y = 0$ ， $x + y = 18$ ， $x^{2} + y^{2} = 162$ ，则密码018162或180162等.对于多项式 $4 x^{3} - x y^{2}$ ，取 $x = 10 ， y = 10$ ，用上述方法产生密码是什么？

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五、综合题

21. 下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 4$ 因式分解的过程．
解：设 $x^{2} - 4 x = y$ ，
则原式 $= (y + 2) (y + 6) + 4$ （第一步）
$= y^{2} + 8 y + 16$ （第二步）
$= {(y + 4)}^{2}$ （第三步）
$= {(^{} - 4 x + 4)}^{2}$ （第四步）
解答下列问题：

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（）

A、提取公因式 B、平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D、两数差的完全平方公式

(2)、该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ 进行因式分解．

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22. 先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x²＋2x﹣3＝x²＋2x＋1﹣4＝（x＋1）²﹣2²＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

(1)、分解因式：x²﹣6x﹣7；

(2)、分解因式：a²＋4ab﹣5b²

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23. 当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式.例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a²+3ab+2b².

(1)、由图2，可得等式：.

(2)、利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a²+b²+c²的值；

(3)、利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a²+5ab+2b²＝（2a+b）（a+2b）

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24. 定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”.将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为 $f (a)$ .例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和与11的商为55÷11=5，所以 $f (23) = 5$ .
根据以上定义，回答下列问题：

(1)、填空：①下列两位数：50、42，33中，“湘一数”为；②计算： $f (45) =$ .

(2)、如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是 $2 (k + 1)$ ，且 $f (b) = 8$ ，请求出“湘一数”b；

(3)、如果一个“湘一数”c，满足 $c - 5 f (c) > 30$ ，求满足条件的c的值.

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二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题

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