重庆市2022届高三上学期数学1月调研试卷

试卷更新日期：2022-02-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A ， B$ 为全集 $U$ 的子集，若 $∁_{U} A \subseteq ∁_{U} B$ ，则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、A B、 $B$ C、U D、 $\emptyset$

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2. 已知非零复数 $z$ 满足 $z \cdot (2 + 2 i) = | z |^{2}$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + 2 i$ B、 $2 - 2 i$ C、 $- 2 + 2 i$ D、 $- 2 - 2 i$

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3. 命题 $p$ 的否定为“ $\exists x < 0$ ，使得 $x + 2 > 2^{x}$ ”，则命题 $p$ 为（）

A、 $\forall x < 0 ， x + 2 > 2^{x}$ B、 $\exists x ⩾ 0$ ，使得 $x + 2 > 2^{x}$ C、 $\forall x < 0 ， x + 2 ⩽ 2^{x}$ D、 $\exists x ⩾ 0$ ，使得 $x + 2 ⩽ 2^{x}$

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4. 函数 $f (x) = \ln (2 x - 1) + \sqrt{x - x^{2}}$ 定义域为（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = a_{n + 1} a_{n} + 1 ， a_{6} = - 1$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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6. 已知 $m > 0$ ，以双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的右焦点为圆心､离心率为半径的圆与双曲线 $C$ 的渐近线相切，则 $m =$ （）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{7}{6}$ C、 $\frac{8}{7}$ D、 $\frac{9}{8}$

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7. 已知 $k < 0$ ，直线 $y = k (x - 2)$ 与曲线 $y = x - 2 ln x$ 相切，则 $k =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-1 C、-2 D、 $- e$

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8. 若 $0 < b < a < \frac{1}{e} ， x = a + b e^{b} ， y = b + a e^{a} ， z = b + a e^{b}$ ，则（）

A、 $x < z < y$ B、 $z < x < y$ C、 $z < y < x$ D、 $y < z < x$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、相关系数 $r$ 可衡量两个变量之间线性关系的强弱， $| r |$ 的值越接近于1，线性相关程度越强 B、在对两个分类变量进行独立性检验时，计算出 $K^{2}$ 的观测值为6.725，已知 $P (K^{2} \geq 6.635) = 0.01$ ，则可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个分类变量无关 C、一组容量为100的样本数据，按从小到大的顺序排列后第50，51个数据分别为13，14，则这组数据的中位数为13.5 D、相关指数 $R^{2}$ 可用来刻画一元回归模型的拟合效果，回归模型的 $R^{2}$ 越大，拟合效果越好

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10. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $(- 2 π ， 2 π)$ 内的所有零点之和为 $\frac{2 π}{3}$ D、将函数 $f (x)$ 图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度后得到曲线 $y = \cos x$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为 $A_{1} D_{1} ， D C$ 的中点，若过点 $B$ 且与直线 $l$ 垂直的平面 $α$ 截正方体所得截面图形为三角形，则直线 $l$ 可以是（）

A、 $A_{1} F$ B、CE C、 $B_{1} F$ D、 $E F$

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12. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， \vec{B C}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影为3，D为 $A C$ 的中点， $E$ 为 $B D$ 的中点，则下列式子有确定值的是（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{B D}$ B、 $\vec{B D} \cdot \vec{A C}$ C、 $\vec{C E} \cdot \vec{A B}$ D、 $\vec{C E} \cdot \vec{B D}$

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三、填空题

13. 已知 $x > 0$ ，则 $2 x + \frac{4}{2 x + 1}$ 的最小值为.

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14. 已知 $x ， y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ 与 $\vec{b} = (x ， y)$ 共线，则 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}$ 的最小值为.

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15. 现安排A，B，C，D，E共5名医生到3个疫苗接种点负责，若A，B两名医生必须安排到同一接种点， $C ， D$ 两名医生不能安排到同一接种点，且每个接种点至少安排1名医生，则不同的安排方案有种.

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，点 $E ， F ， G$ 分别是棱 $A B ， A D ， A A_{1}$ 上靠近 $A$ 点的三等分点，若以 $△ E F G$ 为底面的正三棱柱的其它顶点均在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上，则此正三棱柱的外接球的表面积为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{n + 1} + a_{n - 1}}{2} = a_{n} + 2 (n \in N^{*} ， n ⩾ 2)$ .

(1)、求证： ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， △ A B C$ 的面积为1.

(1)、若 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ，边 $A B ， A C$ 上的高分别为 $h_{1} ， h_{2}$ ，求 $h_{1} \cdot h_{2}$ ；

(2)、当 $2 b + c$ 取最小值时，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 已知一个袋子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球.

(1)、若从袋中一次任取3个球，设取到的3个球中有 $X$ 个黑球，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求 $P (Y = 5)$ .

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20. 如图1，在平面五边形 $A B C D E$ 中， $A D$ $∥$ $B C ， A D = 2 B C = 4 ， A B = \sqrt{6} ， ∠ A B C = 90^{\circ} ， △ A D E$ 是等边三角形.现将 $△ A D E$ 沿 $A D$ 折起，记折后的点 $E$ 为 $E^{'}$ ，连接 $E^{'} B ， E^{'} C$ 得到四棱锥 $E^{'} - A B C D$ ，如图2.

(1)、证明： $B C ⊥ C E^{'}$ ；

(2)、若平面 $E^{'} C D ⊥$ 平面 $ABCD$ ，求二面角 $A - D E^{'} - B$ 的余弦值.

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21. 已知直线 $l ： y = x - 2$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，点 $N$ 在抛物线 $C$ 上，直线 $M N$ 与 $x$ 轴平行.

(1)、证明：抛物线在点 $N$ 处的切线与直线 $l$ 平行；

(2)、若 $N A ⊥ N B$ ，求抛物线 $C$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cos x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，函数 $g (x) = 2 f (x) + f^{'} (x) (π - 2 x)$ .

(1)、求 $g (x)$ 在 $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 (n - 1) π + \frac{π}{4} < a_{n} < 2 (n - 1) π + \frac{π}{2}$ ，且 $f (a_{n}) = 1$ ，证明： $[(4 n - 3) π - 2 a_{n}] \cdot (sin a_{1} - cos a_{1}) \cdot e^{2 (n - 1) π} < 2.$

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