重庆市2022届高三数学第一次联合诊断试卷

试卷更新日期：2022-02-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \log_{2} x \leq 2}$ ， $B = {x | - 2 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(0 ， 4]$

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2. 设复数 $z$ 满足 $i (z + i) \in R$ ，则 $z$ 的实部为（）

A、0 B、1 C、-1 D、i

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3. 设向量 $\vec{i} ， \vec{j}$ 是互相垂直的单位向量，则与向量 $\vec{i} + \vec{j}$ 垂直的一个单位向量是（）

A、 $\vec{i} - \vec{j}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} (\vec{i} - \vec{j})$ C、 $\sqrt{2} (\vec{i} - \vec{j})$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \vec{i} - \vec{j})$

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4. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{b} - \frac{b}{a^{x}}$ 为奇函数的一个充分不必要条件是（）

A、 $b < 0$ B、 $b > - 1$ C、 $b = - 1$ D、 $b = \pm 1$

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5. 设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点， $O$ 为坐标原点，若 $\vec{O A} = \frac{1}{2} (\vec{O F} + \vec{O B})$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm 2 x$

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6. 已知 $a = \frac{1}{e}$ ， $b = \frac{\ln 3}{5}$ ， $c = \frac{\ln 2}{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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7. 通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当 $0 < p < 0.001$ 时， ${(1 - p)}^{n} \approx 1 - n p (n \in N^{*})$ ，据此计算 $E (X) ： E (Y)$ 的近似值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{14}{27}$ C、 $\frac{6}{11}$ D、 $\frac{5}{9}$

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8. 定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x \ln x + 1$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) \cdot f (\frac{1}{x}) = a (a > 0)$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 2$ 有两个不等实根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， e)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 - \frac{2}{e} ， 2)$ D、 $(2 - \frac{2}{e} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列函数中，最小正周期为 $π$ ，且在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \sin 2 x$ B、 $y = \tan x$ C、 $y = | \sin x |$ D、 $y = | \tan x |$

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10. 已知具有相关关系的两个变量x， $y$ 的一组观测数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ ，由此得到的线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 至少经过点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ 中的一个点 B、若 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ， $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ ，则回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 一定经过点 $(\bar{x} ， \bar{y})$ C、若点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ 都落在直线 $x - y + 2 = 0$ 上，则变量x，y的样本相关系数 $r = 1$ D、若 $y_{2} = 98$ ， $\hat{y_{2}} = 100$ ，则相应于样本点 $(x_{2} ， y_{2})$ 的残差为-2

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} + a_{n} \cdot \cos n π = n^{2} (n \in N^{*})$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $a_{9} < a_{10}$ B、 $a_{9} + a_{11} = 20$ C、数列 ${a_{n}}$ 的前10项和为定值 D、数列 ${a_{n}}$ 的前20项和为定值

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，P是棱 $C C_{1}$ 的中点，以下说法正确的是（）

A、过点P有且只有一条直线与直线AB， $A_{1} D_{1}$ 都相交 B、过点P有且只有一条直线与直线AB， $A_{1} D_{1}$ 都平行 C、过点P有且只有一条直线与直线AB， $A_{1} D_{1}$ 都垂直 D、过点P有且只有一条直线与直线AB， $A_{1} D_{1}$ 所成角均为45°

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三、填空题

13. 已知 $a$ 为非零实数，直线 $y = x + 1$ 与曲线 $y = a \ln (x + 1)$ 相切，则 $a =$ .

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14. $2 \cos 16 ° \cos 29 ° - \cos 13 °$ 的值等于.

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15. 中国长征系列运载火箭包括长征一号、长征二号、长征三号、长征四号4个系列十多种型号，具有发射从低轨到高轨、不同质量与用途的各种卫星、载人航天器和月球探测器的能力.其中长征三号系列火箭因其入轨精度高、轨道选择多、适应能力强，成为发射北斗导航卫星的“专属列车”.12年间，长征三号系列火箭用38次成功发射的优异表现，将53颗北斗导航卫星送入预定轨道.现假设长征三号系列火箭某8次成功发射共运送11颗相同的北斗导航卫星进入预定轨道，每次发射运送1颗或2颗卫星，则这11颗卫星的不同运送方式共有种.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过动点 $P$ 作圆A： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的一条切线PQ，其中Q为切点，若 $| P Q | = \sqrt{2} | P O |$ ，则 $| P Q |$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sin^{2} A + \sin^{2} B = (\sin C - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin A \sin B) \sin C$ .

(1)、求C；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{13}$ ， $a = 3 b$ ，点D在边AB上，且 $∠ A C D = ∠ B C D$ ，求CD的长.

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $C A = 2$ ， $C B = 1$ ，M是 $C C_{1}$ 的中点， $A M ⊥ B A_{1}$ .

(1)、求 $A A_{1}$ 的长；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 3 n + λ (n \in N^{*})$ ， $λ \in R$ .

(1)、证明：数列 ${a_{2 n}}$ 是等差数列；

(2)、是否存在 $λ$ 使得数列 ${a_{n}}$ 为等差数列?若存在，求 $λ$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；否则，请说明理由.

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20. 某电视台举办“读经典”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A，B，C三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束：否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，能正确回答C类问题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.

(1)、已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；

(2)、为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序?请说明理由.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $B$ ， $O$ 为坐标原点， $D$ 为线段 $O B$ 的中点，过点 $D$ 的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当直线l与x轴垂直时， $| M N | = a$ .

(1)、求椭圆C的离心率；

(2)、若 $| M D | = 2 | D N |$ ，求直线l的斜率.

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x^{2}} + a \ln | x |$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在唯一极值点，求 $a$ 的取值范围.

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