云南省昆明市2022届高三“三诊一模”市统测数学（理）试题

试卷更新日期：2022-02-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $i z = 1 + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $- 3 - i$ D、 $- 3 + i$

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3. 为了解学生参加知识竞赛的情况，随机抽样了甲、乙两个小组各100名同学的成绩，得到如图的两个频率分布直方图，记甲、乙的平均分分别为 ${\bar{x}}_{甲}$ 、 ${\bar{x}}_{乙}$ ，标准差分别为 $s_{甲}$ 、 $s_{乙}$ ，根据直方图估计甲、乙小组的平均分及标准差，下列描述正确的是（）

A、 ${\bar{x}}_{甲} < {\bar{x}}_{乙}$ ， $s_{甲} < s_{乙}$ B、 ${\bar{x}}_{甲} < {\bar{x}}_{乙}$ ， $s_{甲} > s_{乙}$ C、 ${\bar{x}}_{甲} > {\bar{x}}_{乙}$ ， $s_{甲} < s_{乙}$ D、 ${\bar{x}}_{甲} > {\bar{x}}_{乙}$ ， $s_{甲} > s_{乙}$

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4. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前3项和为14， $a_{1} = 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公比等于（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. 执行如图所示的程序框图，若输入 $N = 5$ ，则输出 $S =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{6}{7}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 满足 $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ，则（）

A、 $\vec{C D} = \frac{1}{4} \vec{C A} + \frac{3}{4} \vec{C B}$ B、 $\vec{C D} = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ C、 $\vec{C D} = \frac{3}{4} \vec{C A} + \frac{1}{4} \vec{C B}$ D、 $\vec{C D} = \frac{1}{3} \vec{C A} + \frac{2}{3} \vec{C B}$

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7. 已知 $O A$ 为球 $O$ 的半径， $M$ 为线段 $O A$ 上的点，且 $A M = 2 M O$ ，过 $M$ 且垂直于 $O A$ 的平面截球面得到圆 $M$ ，若圆 $M$ 的面积为 $8 π$ ，则 $O A =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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8. 抛物线有一条性质为：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，在抛物线内，平行于 $x$ 轴的光线射向 $C$ ，交 $C$ 于点 $P$ ，经 $P$ 反射后与 $C$ 交于点 $Q$ ，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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9. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点， $G$ 在线段 $B_{1} M$ 上，且 $D_{1} G ⊥ B_{1} M$ ，则三棱锥 $M - A_{1} D_{1} G$ 的体积为（）

A、 $\frac{4}{15}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{15}$

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10. 2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空， $582$ 秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度 $v$ 满足公式： $v = w \ln (1 + \frac{M}{m})$ ，其中 $M$ 为火箭推进剂质量， $m$ 为去除推进剂后的火箭有效载荷质量， $w$ 为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当 $M = 3 m$ 时， $v = 5.544$ 千米/秒．在保持 $w$ 不变的情况下，若 $m = 25$ 吨，假设要使 $v$ 超过第一宇宙速度达到 $8$ 千米/秒，则 $M$ 至少约为（结果精确到1，参考数据： $e^{2} \approx 7.389$ ， $\ln 2 \approx 0.693$ ）（）

A、135吨 B、160吨 C、185吨 D、210吨

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11. 经过双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的两条渐近线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $l ⊥ l_{1}$ ，且 $\vec{B F} = 3 \vec{F A}$ ，则该双曲线的离心率等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12. 若函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + a \ln x$ 有两个极值点，设这两个极值点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} \in (1 ， 2)$ B、 $x_{1} + x_{2} < 2$ C、 $f (x_{1}) < - 3$ D、 $f (x_{1}) > - 3$

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二、填空题

13. 已知 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} x \geq y \\ x + y - 2 \leq 0 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为．

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14. 抽奖箱里有大小相同、质地均匀的红球、白球、黑球各2个，抽奖规则为：每次从中随机抽取2个小球，按抽到小球的颜色及个数发放奖品，抽到每个红球获得价值5元的奖品，每个白球获得价值1元的奖品，黑球不能获得奖品．抽奖一次，所得奖品的价值为6元的概率是．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = n$ ，则 $a_{20} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) - ω (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， \frac{7 π}{3 ω})$ 上有且仅有4个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是平行四边形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ B D$ ， $M$ 是 $P A$ 的中点．

(1)、证明： $P C ∥$ 平面 $B D M$ ；

(2)、若 $P D = A D = B D$ ，求直线 $A B$ 与平面 $B D M$ 所成角的大小．

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18. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向.2016年4月，为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部启用新能源汽车专用号牌.2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021-2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展．下表是2016年至2020年新能源汽车年销量（单位：十万辆）情况：

年份	2016	2017	2018	2019	2020
年份编号 $x$	1	2	3	4	5
年销量 $y$	5	7	12	12	14

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、完成下表；

年份编号 $x$	1	2	3	4	5
$x_{i} - \bar{x}$
$y_{i} - \bar{y}$

(2)、试建立年销量

y

关于年份编号

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(3)、根据（2）中的线性回归方程预测2023年新能源汽车的年销量．

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足① $C = 2 B$ ；② $b \cos A = a \cos B$ ；③ $b^{2} - c^{2} = a^{2} - \sqrt{2} a c$ ．

(1)、从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；

(2)、若 $D$ 为线段 $A B$ 上一点，且 $∠ B C D = \frac{1}{2} ∠ B$ ， $C D = 4$ ，求 $△ B C D$ 的面积．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，下、上顶点分别为 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ ．记四边形 $A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}$ 的内切圆为 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过点 $M (m ， 0) (m > 0)$ 作 $E$ 的切线 $l$ 交 $C$ 于A、 $B$ 两点，求 $| A B |$ 的最大值．

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21. 设函数 $f (x) = x^{2} - a x \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若存在 $x_{0} \in [1 ， e]$ ，使得 $f (x_{0}) < - e (a + e)$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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22. 已知圆 $C$ 的方程为 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{array}$ ，（ $t$ 为参数， $0 \leq α < π$ ）．以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $| O A | + | O B | = 2 \sqrt{7}$ 时，求 $l$ 的极坐标方程.

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23. 已知 $f (x) = | x - 2 | + | x - 3 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \geq 3$ ；

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，若 $a$ ， $b$ 都是正数，且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = m$ ，证明： $a + 2 b \geq 9$ ．

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