四川省攀枝花市2022届高三理数第二次统一考试试卷

试卷更新日期：2022-02-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | y = \sqrt{x^{2} - x - 2}}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 1] \cup [2 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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2. 若复数 $z = 2 i (1 + b i) (b \in R)$ 的实部与虚部相等，则 $b$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 已知具有线性相关的变量 $x$ 、 $y$ ，设其样本点为 $A_{i} (x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots \dots ， 8)$ ，回归直线方程为 $\hat{y} = \frac{1}{2} x + \hat{a}$ ，若 $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} = 8$ ， $\sum_{i = 1}^{8} y_{i} = 6$ （ $O$ 为坐标原点），则 $\hat{a} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、2 D、5

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4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图．则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ D、 $2 π$

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5. 已知 $\tan α = 1 + m$ ， $\tan β = m$ ，且 $α + β = \frac{π}{4}$ ，则实数 $m =$ （）

A、-1 B、1 C、0或-3 D、0或1

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6. 若将函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象沿 $x$ 轴向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，则平移后函数图象的对称轴方程为（）

A、 $x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{12} (k \in Z)$ B、 $x = \frac{k π}{2} - \frac{π}{12} (k \in Z)$ C、 $x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{3} (k \in Z)$ D、 $x = \frac{k π}{2} - \frac{π}{3} (k \in Z)$

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7. 已知 $f (2 x) = (2 \cos^{2} x - 1) \cdot \ln 4 x^{2}$ ，则函数 $f (x)$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，中，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $O$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，则（）

A、直线 $E F$ 与 $A O$ 是异面直线 B、直线 $E F$ 与 $B B_{1}$ 是相交直线 C、直线 $E F$ 与 $A C$ 互相垂直 D、直线 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 2 a ， x \leq 1 \\ e^{x} - a x ， x > 1 \end{array} (a \in R)$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[1 ， e]$ D、 $[0 ， e]$

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10. 如图，平面四边形 $A B C D$ 中 $A B = A D$ ， $B C = 1$ ， $C D = 2$ ．则 $\vec{C A} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、-3 B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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11. 已知四面体 $A B C D$ 中， $A B = A D = B C = C D = 5$ ， $B D = 8$ ， $A C = 3$ ，则以点 $C$ 为球心，以 $2 \sqrt{2}$ 为半径的球被平面 $A B D$ 截得的图形面积为（）

A、 $π$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{16 π}{9}$ D、 $\frac{9 π}{4}$

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12. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，当 $x \neq 0$ 时，恒有 $x f^{'} (x) > 0$ ，设 $a = f (\log_{3} \frac{1}{2})$ ， $b = f (\log_{5} \frac{1}{2})$ ， $a = f (\frac{3}{4})$ ．则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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二、填空题

13. 已知二项式 ${(a x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中含 $x$ 的项的系数为80．则实数 $a =$ ．

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14. 甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排．甲、乙要相邻．且甲不站在两端，则不同的排法种数．

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15. 已知函数 $f (x) = x - \sin x$ ，则满足不等式 $f (\ln x) + f (2 \ln \frac{1}{x} - 1) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A = 2 B$ ， $A C = 9$ ， $B C = 12$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，则 $△ B C D$ 的面积为．

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三、解答题

17. 在① $S_{n} + 1 = 2 a_{n}$ ，② $a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n - 1}$ ，③ $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ 这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
设首项为1的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足______（只需填序号）

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 ${a_{n}}$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别 $[150 ， 250)$ ， $[250 ， 350)$ ， $[350 ， 450)$ ， $[450 ， 550)$ ， $[550 ， 650]$ （单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．

(1)、估计这组数据的平均数；

(2)、在样本中，按分层抽样从质量在 $[250 ， 350)$ ， $[350 ， 450)$ 中的芒果中随机抽取10个，再从这10个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；

(3)、某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以10元/千克收购；

方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．

请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

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19. 如图1．在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ．点 $E$ 为 $B C$ 的中点．点 $F$ 在 $D$ 上，且 $E F // A B$ ， $B C = E F = D F = 4$ ．将四边形 $C D E F$ 沿 $E F$ 边折起，如图2．

(1)、证明：图2中的 $A E ∥$ 平面 $B C D$

(2)、在图2中，若 $A D = 2 \sqrt{3}$ ．求二面角 $D - B C - E$ 的余弦值．

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $k$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $x$ 轴交于 $P (a ， 0)$

(1)、当 $k = 1$ ， $a = 3$ 时．求 $| A F | + | B F |$ 的值；

(2)、当点 $P$ 、 $F$ 重合时，过点 $A$ 的圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与抛物线 $C$ 交于另外一点 $D$ ．试问直线 $B D$ 是否过 $x$ 轴上的定点 $Q$ ？若是，请求出点 $Q$ 坐标；若不是，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln x + m x^{2} + n x + 1$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是 $x + y - 1 = 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、如果 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \cdot x_{2} > 1$ ．求证： $f (x_{1}) + f (x_{2}) < 0$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos α + \sin α \\ y = \sqrt{3} \cos α - \sqrt{3} \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$ ．

(1)、求曲线 $C$ 和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (- 1 ， 1)$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $\frac{1}{| P M |} + \frac{1}{| P N |}$ 的值

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ．函数 $f (x) = | x - a | + | x + b | + c$ ．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 4 + c$ ．

(2)、当 $f (x)$ 的最小值为1时，证明 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c} + \frac{a^{2} + c^{2}}{b} + \frac{b^{2} + c^{2}}{a} \geq 2$ ．

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