四川省巴中市2021-2022学年高三上学期理数一诊试卷

试卷更新日期：2022-02-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 2 < x < 1}$ ， $N = {x | x = m^{2} - 1 ， m \in R}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 1}$ C、 ${x | - 2 < x < 1}$ D、 ${x | - 2 < x < - 1}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数z满足 $(1 + 2 i) z = 5$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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3. 如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 ${\bar{x}}_{A}$ 和 ${\bar{x}}_{B}$ ，样本标准差分别为 $S_{A}$ 和 $S_{B}$ ，样本极差分别为 $y_{A}$ 和 $y_{B}$ ，则（）

A、 ${\bar{x}}_{A} > {\bar{x}}_{B}$ ， $S_{A} > S_{B}$ ， $y_{A} < y_{B}$ B、 ${\bar{x}}_{A} < {\bar{x}}_{B}$ ， $S_{A} > S_{B}$ ， $y_{A} > y_{B}$ C、 ${\bar{x}}_{A} > {\bar{x}}_{B}$ ， $S_{A} < S_{B}$ ， $y_{A} > y_{B}$ D、 ${\bar{x}}_{A} < {\bar{x}}_{B}$ ， $S_{A} < S_{B}$ ， $y_{A} < y_{B}$

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4. $(1 + x^{2}) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为（）

A、5 B、10 C、15 D、20

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5. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} + a_{6} = a_{2} + 4$ ，则 $S_{17} =$ （）

A、4 B、17 C、68 D、136

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6. 已知函数 $f (x)$ 是奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 100^{x} - 1$ ，则 $f (\lg \frac{1}{2}) =$ （）

A、1 B、-1 C、3 D、-3

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7. 刘徽（225—295）是我国魏晋时期杰出的数学家，擅长利用切割的方法求几何体的体积.他将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{20}{3}$ B、 $\frac{32}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{26}{3}$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别为 $A_{1} C_{1}$ ， $C_{1} B_{1}$ 的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$

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9. 已知 $3 \sin α + 4 \cos α = 5$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{24}{7}$ D、 $\frac{24}{25}$

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10. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的左､右焦点，若双曲线上存在一点P使得 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 2 \sqrt{2} b$ ，且 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = a b$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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11. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列命题中错误的是（）

A、 $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n} \cdot q$ B、 $S_{n + 1} = S_{1} + q S_{n}$ C、 $S_{2}$ ， $S_{4} - S_{2}$ ， $S_{6} - S_{4}$ 成等比数列 D、“ $q = - \frac{1}{2}$ ”是“ $S_{n}$ ， $S_{n + 2}$ ， $S_{n + 1}$ 成等差数列”的充要条件

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12. 已知 $a = e^{0.1}$ ，b=1.1， $c = \frac{\ln 3}{\sqrt{3}}$ ， $d = \ln 2$ ，则a､b､c､d的大小关系为（）

A、a>b>c>d B、a>b>d>c C、b>a>c>d D、b>a>d>c

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x + 1) = x^{2} + 2 x + a$ ，若 $f (1) = 1$ ，则 $a =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ， $\vec{c} = (1 ， 2)$ ，若 $\vec{c} / / (\vec{a} + m \vec{b})$ ，则m=.

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15. 已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 和点 $M (2 ， 2)$ ，过M的直线交抛物线于A､B两点，抛物线在点A､B处的切线 $l_{1}$ ､ $l_{2}$ 交于点P，若M为线段AB的中点，则 $△ A B P$ 的面积为.

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16. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，BC=3， $C C_{1} = 2$ ，M为CD的中点，动点P在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内，且 $∠ A P B = ∠ M P C$ ，则动点P的轨迹的长度为.

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三、解答题

17. 为落实“双减”政策，增强学生体质，某校初一年级将学生分成甲､乙两组进行跳绳比赛，比赛采取5局3胜制.在比赛中，假设每局甲组获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙组获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，各局比赛结果相互独立.

(1)、求甲组在4局以内（含4局）获胜的概率；

(2)、设 $X$ 为决出胜负时比赛的总局数，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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18. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为角A､B､C的对边， $c (a \cos B + b \cos A) = a^{2} - b^{2} + b c$ .

(1)、求A；

(2)、若角A的平分线AD交BC于D，且BD=2DC， $A D = 2 \sqrt{3}$ ，求a.

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19. 如图1，在梯形ABCD中， $A B // C D$ ， $A B ⊥ B C$ ，AB=4， $B C = \sqrt{3}$ ，CD=7，点E在CD上，CE=3.将 $△ D A E$ 沿AE翻折到PAE，使得平面 $P A E ⊥$ 平面ABCE（如图2），又 $A M ⊥ P E$ 于M， $A N ⊥ P B$ 于N.

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面AMN；

(2)、求二面角P-AM-N的余弦值.

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20. 已知点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ 和圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，动点M在圆O上， $F_{2}$ 关于M的对称点为N， $F_{2} N$ 的中垂线与 $F_{1} N$ 交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设曲线C与y轴的正半轴交于点P，不过点P的直线l交曲线C于A，B两点，若 $P A ⊥ P B$ ，证明直线l恒过定点.

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 2} - \ln x + \ln a$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $y = \frac{3}{2} x - 1$ ，求a的值；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ 恒成立，求a的取值范围

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22. 在直角坐标系xOy中，圆C： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$ ，直线l的参数方程 ${\begin{array}{l} x = t \cos α ， \\ y = t \sin α . \end{array}$ （t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求圆C和直线l的极坐标方程；

(2)、若圆C的圆心到l的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，求直线l的直角坐标方程.

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23. 已知 $f (x) = 2 | x - 1 | + | x - 2 | - a$ ，若 $f (x) \geq 0$ 在R上恒成立.

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、设实数a的最大值为m，若正数b，c满足 $\frac{1}{c} + \frac{2}{b} = m$ ，求bc+c+2b的最小值.

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