上海市静安区2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-02-23 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 抛物线 $y^{2} = 16 x$ 的准线方程是.

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2. 设集合 $A = {y | y = {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \in R}$ ，集合 $B = {y | y = x^{\frac{1}{2}} ， x \geq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ ．

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3. 函数 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a}{3}$ ，则 $a$ 的值为.

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4. 在 ${(x + \frac{1}{x})}^{10}$ 的二项展开式中， $x^{4}$ 项的系数为（结果用数值表示）

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5. 已知圆柱的母线长4cm，底面半径2cm，则该圆柱的侧面积为 $c m^{2}$ ．

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6. 若关于x的实系数一元二次方程 $x^{2} - m x + 3 m - 8 = 0$ 有两个共轭虚数根，则m的取值范围是．

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7. 函数 $y = c o s^{2} x - 4 c o s x + 1 ， x \in R$ ，当y取最大值时，x的取值集合是．

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8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，公比为 $q (q \in R)$ ，且 $a_{2}$ 、 $a_{3} + 2$ 、 $a_{4}$ 成等差数列，则 $q =$ ．

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9. 已知 $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量，若 $\vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 和 $k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 垂直，则实数 $k =$ ．

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10. 已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为 $A (\sqrt{2} ， 0)$ ，两条渐近线与以A为圆心1为半径的圆都相切，则该双曲线的标准方程是．

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11. 设函数 $f (x) = \frac{2^{x + 1}}{2^{x} + \sqrt{2}} ， x \in R$ ，数列 ${a_{n}}$ 中， $n \in N^{+} ， a_{1} = f (\frac{1}{2}) ， a_{2} = f (\frac{1}{3}) + f (\frac{2}{3})$ ，一般地， $a_{k} = f (\frac{1}{k + 1}) + f (\frac{2}{k + 1}) + f (\frac{3}{k + 1}) + ⋯ + f (\frac{k}{k + 1})$ ，（其中 $k = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot$ ）．则数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} =$ ．

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12. 已知偶函数 $y = f (x)$ 是实数集上的周期为2的周期函数，当 $x \in [2 ， 3]$ 时， $f (x) = 2 x$ ，则当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) =$ ．

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二、单选题

13. 方程 $3^{l o g_{2} x} = \frac{1}{9}$ 的解是（）

A、 $x = \frac{1}{4}$ B、 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $x = \sqrt{2}$ D、 $x = 4$

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14. 以坐标原点为中心的椭圆的长轴长等于8，且以抛物线 $x^{2} = 12 y$ 的焦点为一个焦点，则该椭圆的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{55} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{28} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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15. 函数 $y = x^{2} + | l g (x + \sqrt{x^{2} + 1}) | + 1$ 的图像关于（）对称．

A、原点 B、x轴 C、y轴 D、直线 $y = x$

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16. 已知直线 $a x + b y + c = 0$ 的斜率大于零，其系数a、b、c是取自集合 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ 中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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三、解答题

17. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 ， A A_{1} = 4$ ．

(1)、求正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、若点M是侧棱 $A A_{1}$ 的中点，求异面直线 $B M$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 $a = 4 ， c = 6 ， c o s C = \frac{1}{8}$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、求b的值．

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19. 某学校对面有一块空地要围建成一个面积为 $360 m^{2}$ 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 $2 m$ 的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建 $2 m$ 宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）．

(1)、将y表示为x的函数；

(2)、试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进岀口的费用）最少，并求岀最少总费用．

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20. 如图1，已知椭圆 $Γ$ 的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，点B是椭圆 $Γ$ 的上顶点，椭圆 $Γ$ 上一点 $A (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 到两焦点距离之和为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、若点 $P 、 Q$ 是椭圆 $Γ$ 上异于点B的两点， $B P ⊥ B Q$ ，且满足 $3 \vec{P C} = 2 \vec{C Q}$ 的点C在y轴上，求直线 $B P$ 的方程；

(3)、设x轴上点T坐标为 $(2 ， 0)$ ，过椭圆 $Γ$ 的右焦点F作直线l（不与x轴重合）与椭圆 $Γ$ 交于M、N两点，如图2，点M在x轴上方，点N在x轴下方，且 $\vec{F M} = 2 \vec{N F}$ ，求 $| \vec{T M} + \vec{T N} |$ 的值．

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21. 对于数列 ${a_{n}}$ ：若存在正整数 $n_{0}$ ，使得当 $n \geq n_{0}$ 时， $a_{n}$ 恒为常数，则称数列 ${a_{n}}$ 是准常数数列．现已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = a$ ，且 $a_{n + 1} = | a_{n} - 1 | ， n \in N^{*}$ ．

(1)、若 $a = \frac{3}{2}$ ，试判断数列 ${a_{n}}$ 是否是准常数数列；

(2)、当a与 $n_{0}$ 满足什么条件时，数列 ${a_{n}}$ 是准常数数列？写出符合条件的a与 $n_{0}$ 的关系；

(3)、若 $a \in (k ， k + 1) (k \in N^{*})$ ，求 ${a_{n}}$ 的前 $3 k$ 项的和 $S_{3 k}$ （结果用k、a表示）．

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