山西省吕梁市2022届高三上学期理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-02-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x - 6 < 0}$ ， $B = {- 2 ， 1 ， 4 ， 8}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， 1}$ B、 ${1 ， 8}$ C、 ${1 ， 4}$ D、 ${4 ， 8}$

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2. 若 $z = i + 2 i^{2} + 3 i^{3}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 + 2 i$ B、 $2 - 2 i$ C、 $- 2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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3. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x - l n x$ 的零点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长相等， $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} B$ 与 $C_{1} D$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} s i n x}{4^{x} + 1}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在正方形网格中有向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，若 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，则（）

A、 $x = 2$ ， $y = 1$ B、 $x = 1$ ， $y = 2$ C、 $x = y = 1$ D、 $x = y = 2$

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7. “ $c = 6$ ”是“函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ 在 $x = 2$ 处有极大值”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 过双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F (c ， 0)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的一条切线，切点为B，交y轴于D，若 $\vec{F B} = 3 \vec{B D}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9. 在△ $A B C$ 中，D为BC的中点， $\vec{E B} = 2 \vec{A E}$ ， $\vec{A F} = 2 \vec{F C}$ ， EF与AD交于G， $\vec{A G} = λ \vec{A D}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，如图以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为（）

A、 $H = 55 s i n (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2})$ ， $x \in [0 ， 30]$ B、 $H = 55 s i n (\frac{π}{15} t + \frac{π}{2})$ ， $x \in [0 ， 30]$ C、 $H = 55 s i n (\frac{π}{15} t + \frac{π}{2}) + 55$ ， $x \in [0 ， 30]$ D、 $H = 55 s i n (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65$ ， $x \in [0 ， 30]$

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11. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = 3 \times 2^{n}$ ，则 $S_{100} =$ （）

A、 $2^{100} - 3$ B、 $2^{100} - 2$ C、 $2^{101} - 3$ D、 $2^{101} - 2$

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12. 若 $a^{2} + l o g_{2} a = 3 b^{2} + 3 l o g_{8} b$ ，则（）

A、 $\frac{1}{2} b < a < b$ B、 $b < a < 2 b$ C、 $2 b < a < 3 b$ D、 $\frac{1}{3} b < a < \frac{1}{2} b$

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二、填空题

13. 已知 $F$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点，P为椭圆上一点，则 $| P F |$ 的取值范围为．

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14. 已知函数 $f (x) = | 3 - 2 x - x^{2} |$ 的图象和直线 $2 x + a y + 7 = 0$ 有三个交点，则 $a =$ ．

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15. 已知P为圆C： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 上一动点，点Q的坐标为 $(3 ， 3)$ ，若 $\vec{P M} = 2 \vec{M Q}$ ，则 $| O M |$ （O为坐标原点）的最小值为．

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16. 公园，旅游景点的护栏顶部常常用“半正多面体”装饰．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为24的半正多面体，其棱长为 $\sqrt{2}$ ，则该半正多面体的表面积为，体积为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = \frac{a_{n - 1} - 1}{a_{n - 1} + 3}$ ， $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n} + 1}}$ 为等差数列；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} = a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式．

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18. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知 $c^{2} = a^{2} - b^{2} + \sqrt{3} b c$ ， $c o s A = 3 - \frac{a c o s B}{b}$ ．

(1)、求角A及 $\frac{c}{b}$ 的值；

(2)、若D为AB边上一点，且 $C D ⊥ A C$ ， $C D = 2$ ，求 $△ B C D$ 的面积．

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19. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围．

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面ABCD为菱形，点E在SD上，且 $S E ： E D = 2 ： 1$ ．

(1)、若M，N分别为SA，SC的中点，证明：平面 $B M N ∥$ 平面ACE；

(2)、若 $A B = 4$ ， $A S = 3$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $S A ⊥$ 平面ABCD，求直线BS与平面ACE所成角的正弦值．

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21. 已知点F为抛物线E： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $M (2 ， y)$ 为E上一点，且 $| M F | = 3$ ．

(1)、求抛物线E的方程．

(2)、过E上动点A作圆N： ${(x - t)}^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，分别交E于B，C（不同于点A）两点，是否存在实数t，使得直线BC与圆N相切．若存在，求出实数t的值，不存在，请说明理由．

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22. 在极坐标系中，射线 $θ = α$ 与以 $C (5 \sqrt{2} ， \frac{π}{4})$ 为圆心， $5$ 为半径的圆相交于 $A ， B$ 两点．

(1)、求圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若 $\vec{A B} = 4 \vec{O A}$ ，求 $s i n α + c o s α$ ．

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23. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 4$ ．

(1)、证明： $x^{2} + 4 y^{2} \geq 8$ ；

(2)、求 $x^{2} + 2 y^{2}$ 的最小值．

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