山东省济南市2021-2022年学年高三上学期数学第二轮模拟试卷

试卷更新日期：2022-02-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $M = {0 ， 1 ， 2} ， N = {x | x = 2 a ， a \in M}$ ，则M∩N=（）

A、{0} B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 2}$

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2. 已知 $l n 2 = a$ ， $l n 3 = b$ ，那么 $l o g_{3} 2$ 用含a、b的代数式表示为（）

A、a-b B、 $\frac{a}{b}$ C、 $\frac{b}{a}$ D、 $a + b$

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3. 设 $f (x)$ 为偶函数，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时 $f (x) = x - 1$ ，则使 $f (x) > 0$ 的x取值范围是（）

A、 ${x | x > 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 0}$ C、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 0$ 或 $x > 1}$

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4. 命题 $p$ ：若 $a < b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ ；命题 $q$ ： $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 \leq 0$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \lor q$ C、 $(\neg p) \land q$ D、 $p \lor (\neg q)$

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5. “ $x^{2} + | y | = 0$ ”是“ $x y = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 函数 $y = \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x}$ 的定义域是（）

A、 $[- 4 ， 0) ∪ (0 ， 4]$ B、 $[- 4 ， 4]$ C、 $(- \infty ， - 4] ∪ [4 ， + \infty)$ D、 $[- 4 ， 0) ∪ [4 ， + \infty)$

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7. 如果角 $α$ 的终边过点 $P (2 \sin 30^{\circ}, - 2 \cos 30^{\circ})$ ，则 $\sin α$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 若二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ ，满足 $f (1) = f (3)$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $f (1) < f (4) < f (2)$ B、 $f (4) < f (1) < f (2)$ C、 $f (4) < f (2) < f (1)$ D、 $f (2) < f (4) < f (1)$

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9. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{2} = - 1$ ， $a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} + a_{n}$ ，则 $a_{5}$ 等于（）

A、0 B、-1 C、-2 D、-3

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10. 已知 $0 < a < 1 ， b < - 1$ ，则函数 $y = a^{x} + b$ 的图像必定不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11. 若平面向量 $\vec{a}$ 与 $b$ 同向， $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $| b | = 2 \sqrt{5}$ ，则 $b =$ （）

A、 $(4 ， 2)$ B、 $(2 ， 4)$ C、 $(6 ， 3)$ D、 $(4 ， 2)$ 或 $(2 ， 4)$

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12. 在等腰梯形ABCD中， $\vec{A B} = - 2 \vec{C D}$ .M为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D}$

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13. 已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{n}$ 的平均数为4，方差为2，则数据 $2 x_{1} + 3$ ， $2 x_{2} + 3$ ， $2 x_{3} + 3$ ， …， $2 x_{n} + 3$ 的平均数与方差的和为（）

A、6 B、15 C、19 D、22

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14. 过 $x + y = 2$ 与 $x - y = 0$ 的交点，且平行于向量 $v = (3 ， 2)$ 的直线方程为（）

A、 $3 x - 2 y - 1 = 0$ B、 $3 x + 2 y - 5 = 0$ C、 $2 x - 3 y + 1 = 0$ D、 $2 x - 3 y - 1 = 0$

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15. 由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）

A、60个 B、48个 C、36个 D、24个

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16. 已知 $l ： 2 x - y - 3 = 0$ ，则下列图中阴影区域表示的不等式为（）

A、 $2 x - y - 3 > 0$ B、 $2 x - y - 3 < 0$ C、 $2 x - y - 3 \geq 0$ D、 $2 x - y - 3 \leq 0$

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17. 若实数 $k$ 满足 $0 < k < 9$ ，则曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9 - k} = 1$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{25 - k} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的（）

A、离心率相等 B、虚半轴长相等 C、实半轴长相等 D、焦距相等

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18. 如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）

A、主视图改变，左视图改变 B、俯视图不变，左视图不变 C、俯视图改变，左视图改变 D、主视图改变，左视图不变

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19. 4位同学各自在周六、周日两天中等可能的任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{7}{8}$

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20. 已知倾斜角为 $α$ 的直线l过定点 $(0 ， - 2)$ ，且与圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 相切，则 $\frac{1 - c o s 2 α}{c o s (\frac{π}{2} + α)}$ 的值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ 或 $- \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

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二、填空题

21. 已知函数 $f (x) = - x^{2} - 2 x + 3$ ，则 $f (x + 1) =$ ．

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22. 函数 $y = s i n^{2} x + s i n x + 2$ 的最小值为．

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23. 下列命题：
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行；
③如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
④如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线垂直于这个平面；
⑤如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么直线也和斜线垂直．
其中正确命题的序号为．

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24. 已知 $(1 + x) (1 - 2 x)^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{8}$ 的值为．

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25. 已知抛物线方程为 $y^{2} = 4 x$ ，直线 $l ： x + y + \sqrt{2} = 0$ ，抛物线上一动点P到直线 $l$ 的距离的最小值为．

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 5 ， x \geq 0 \\ x + 6 ， x < 0 \end{array}$

(1)、若 $f (m) = 4$ ，求m的值；

(2)、若 $f (- a^{2} - 1) > 1$ ，求a的取值集合．

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27. 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息：①从第一年每个养鸡场现产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场生产2万只鸡，每一年生产鸡的只数成等差数列；②由第一年养鸡场数为30个减少到第六年的10个，每一年鸡场的个数也成等差递减数列．请根据以上提供的信息解答下列问题．

(1)、第二年养鸡场的个数及全县出产鸡的总数；

(2)、哪一年的养鸡规模最大（即只数最多）？

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28. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (\frac{π}{4} - x) c o s (\frac{π}{4} - x) - c o s (\frac{π}{3} + 2 x)$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $f (\frac{C}{2}) = 1$ ，且 $c^{2} = a b$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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29. 如图，四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ B C$ ， D在棱BC上， $A D ⊥ B C$ ， $A D = 2$ ， $P A = 1$ ， $∠ P A D = 60 °$ ．

(1)、证明 $P A ⊥$ 平面PBC；

(2)、若 $B C = 2$ ，求四面体 $P - A B C$ 的体积V．

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30. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{2} ， 0) 、 F_{2} (\sqrt{2} ， 0)$ ，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点M（1，0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN、BN的斜率分别为k₁、k₂ ，求证：k₁+k₂为定值．

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